Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
960 rpm ile çalışan 5,5 kW’lık bir motor 18 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 30 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Dişli milindeki çıkış torku T2 değerini bulun.
P = 5,5 kWn1 = 960 rpmN1 = 18N2 = 30η = 96%
T2 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Açık bir kayış, 2880 rpm ile dönen 200 mm’lik bir tahrik kasnağını 400 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 500 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,3 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 1500 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).
d1 = 200 mmn1 = 2880 rpmd2 = 400 mmC = 500 mmμ = 0,3T1 = 1500 N
P = kW
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 400 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
50 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1,5 m ve B’den 1 m uzaklıktaki C’de 750 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku TA değerini bulun.
d = 50 mmT0 = 750 N·ma = 1,5 mb = 1 m
TA = N·m
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Bir noktada σₓ = −30 MPa ve σᵧ = −40 MPa’dır. En büyük asal gerilme 5 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τxy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?
σx = −30 MPaσy = −40 MPaσ1 = 5 MPa
τxy = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 30° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τθ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).
σx = 0 MPaσy = −50 MPaτxy = 60 MPaθ = 30°
τθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 30 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 200 MPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 70 mm, E = 110 GPa, izin verilen gerilme 70 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü Pmax bulun.
çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPaboru: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 130 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 130 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 40 mm’lik bir yer değiştirme tepesini bir çevrim sonra 31,1 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
x0 = 40 mmx1 = 31,1 mmn = 1
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
5 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 100 kN/m, alttakinin k₂ = 20 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 5 kgk1 = 100 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T2 = 87,54 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/100,5 = 54,71 N·m
Çıkış torku
T2 = 54,71·30/18·0,96 = 87,54 N·m
Cevap
T2 = 87,54 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: P = 25,35 kW
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Sarılma açısı
θ = 2,739 rad
Gevşek taraftaki çekme kuvveti
eμθ = e0,8217 = 2,274, T₂ = 1500/2,274 = 659,5 N
Güç
P = (1500 − 659,5)·30,16 = 25,35 kW
Cevap
P = 25,35 kW
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 11,08 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(39000·79522) = 0,1935 rad
φ = 0,1935·180/π = 11,08°
Cevap
φ = 11,08°
4.Millerin burulması
Cevap: TA = 300 N·m
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).
Denge ve uygunluk
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·1/2,5 = 300 N·m
TB = 750·1,5/2,5 = 450 N·m
Cevap
TA = 300 N·m
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τxy = 39,69 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Gerekli yarıçap
C = (−30 + (−40))/2 = −35 MPa
R = σ1 − C = 5 − (−35) = 40 MPa
Kayma gerilmesi
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 5²) = 39,69 MPa
Cevap
τxy = 39,69 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τθ = 8,349 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
τθ = −25·0,866 + 60·0,5 = 8,349 MPa
Cevap
τθ = 8,349 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 0,7835 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 61,12/117000 = 0,0005224 = 522,4 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,0005224·1500 mm = 0,7835 mm
Cevap
δ = 0,7835 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: Pmax = 370,4 kN
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
Birleşik eksenel rijitlik
ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·4006 = 5,82 × 10⁸ N
Belirleyici birim şekil değiştirme
ε = min(0,001, 0,0006364) = 0,0006364 (bronz)
En büyük yük
Pmax = 0,0006364·5,82 × 10⁸ = 370351 N = 370,4 kN
Cevap
Pmax = 370,4 kN
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 19,62 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN
Cevap
Pcr = 19,62 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 109,7 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 3·130000 = 390000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 109,7 mm
Cevap
d = 109,7 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 218,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,04002
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Logaritmik azalma
δ = (1/1)·ln(40/31,1) = 0,2517
Sönüm oranı
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2517/√(39,48 + 0,06334) = 0,04002
Cevap
ζ = 0,04002
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 9,189 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/100 + 1/20 → keq = 100·20/(100 + 20) = 16,67 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(16667/5) = 57,74 rad/s
fn = 57,74/(2π) = 9,189 Hz
Cevap
fn = 9,189 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design