Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile dönen 150 mm’lik bir kasnak, %3 kaymayla bir kayış aracılığıyla 500 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n₂ bulun.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 500 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

960 rpm’deki 1,1 kW’lık bir motor A dişlisini (18 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (40 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (15 diş), çıkış milindeki D dişlisini (32 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %97’dır. Çıkış torku T_out değerini bulun.

P = 1,1 kWn_in = 960 rpmA = 18B = 40C = 15D = 32η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir alüminyum mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 50 mm ve uzunluğu 1,2 m; BC parçasının çapı 40 mm ve uzunluğu 1,5 m’dir. Serbest uç C’de 750 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

T = 750 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 40 mm, L₂ = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 1000 dev/dk’da 30 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −10 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = −10 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 90 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 25° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) pirinç malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 400 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 100 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 110 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 110 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

12 kg’lık bir kütle, rijitliği 100 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 880 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 12 kgk = 100 kN/mc = 880 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle k₃ = 5 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 50 kN/m ve k₂ = 80 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n₂ = 419 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

1440·150/500 = 432 rpm

Kaymayla

n₂ = 432·0,97 = 419 rpm

Cevap

n₂ = 419 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_out = 48,81 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Çıkış hızı

n_out = 960·(18/40)·(15/32) = 202,5 rpm

ω_out = 2π·202,5/60 = 21,21 rad/s

Çıkış gücü ve tork

P_out = 1100·0,97² = 1035 W

T_out = P_out/ω_out = 1035/21,21 = 48,81 N·m

Cevap

T_out = 48,81 N·m

3.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 13,1 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momentleri

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 750000·1200/(26000·613592) = 0,05641 rad

φ_BC = 750000·1500/(26000·251327) = 0,1722 rad

Toplam burulma

φ_C = 0,05641 + 0,1722 = 0,2286 rad = 13,1°

Cevap

φ_C = 13,1°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 26,89 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·286479/(π·75)) = 26,89 mm

Cevap

d = 26,89 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = 9,217 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 30/31,62 = 0,9487, sin 2θ_s = −(−10)/31,62 = 0,3162

2θ_s = atan2(10, 30) = 18,43°

Elemandaki açı

θ_s = 9,217°

kontrol: θ_s − θ_p = 9,217 − 54,22 = −45°

Cevap

θ_s = 9,217°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = −29,28 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −55·0,766 + 20·0,6428 = −29,28 MPa

Cevap

τ_θ = −29,28 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 39,8 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2,037 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,25/6,281 × 10⁻⁶ = 39801 N = 39,8 kN

Cevap

P = 39,8 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 22,95 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 70000·1963/200 = 687223 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 100000·687223/1,525 × 10⁶ = 45064 N

Gerilme

σ₂ = 45064/1963 = 22,95 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 22,95 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 56,25 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2100² = 56247 N = 56,25 kN

Cevap

P_cr = 56,25 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 100,9 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·110000 = 220000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 100,9 mm

Cevap

d = 100,9 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 158,5, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,4017

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·12) = 2191 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 880/2191 = 0,4017

Cevap

ζ = 0,4017

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,469 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 50 + 80 = 130 kN/m

k_eq = 130·5/(130 + 5) = 4,815 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(4815/20) = 15,52 rad/s

f_n = 15,52/(2π) = 2,469 Hz

Cevap

f_n = 2,469 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design