Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 1440 rpm ile dönen 150 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 600 N, gevşek tarafta 120 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 600 NT₂ = 120 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 1440 rpm ile dönen 150 mm’lik bir tahrik kasnağını 315 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 1000 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,25 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 1500 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 315 mmC = 1000 mmμ = 0,25T₁ = 1500 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 200 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,6 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 60 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

60 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 1,5 m uzaklıktaki B’de 750 N·m tork, ondan 3 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 400 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 60 mmT_B = 750 N·mT_C = 400 N·mAB = 1,5 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 70 MPa, σᵧ = 30 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 460 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 160 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 20 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 250 MPa), alüminyum malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 50 mm, E = 70 GPa, izin verilen gerilme 60 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaboru: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 85 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 85 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

2 kg’lık bir kütle, rijitliği 80 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 160 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 2 kgk = 80 kN/mc = 160 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 40 kN/m ve k₂ = 20 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 5,429 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 11,31 m/s

Güç

P = (600 − 120)·11,31 = 5429 W = 5,429 kW

Cevap

P = 5,429 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 8,904 kW

Sarılma açısı

θ = 2,976 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,7441 = 2,105, T₂ = 1500/2,105 = 712,7 N

Güç

P = (1500 − 712,7)·11,31 = 8,904 kW

Cevap

P = 8,904 kW

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 26,92 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·60·0,8704)) = 26,92 mm

d_i = 0,6·26,92 = 16,15 mm

Cevap

d_o = 26,92 mm

Dolu bir mil d = 25,7 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 9,431 MPa

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 750 = −350 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|_max = 400 N·m

τ_max = 16·400000/(π·60³) = 9,431 MPa

Cevap

τ_max = 9,431 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −16,85 °

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 30/36,06 = 0,8321, sin 2θ_s = −20/36,06 = −0,5547

2θ_s = atan2(−20, 30) = −33,69°

Elemandaki açı

θ_s = −16,85°

kontrol: θ_s − θ_p = −16,85 − 28,15 = −45°

Cevap

θ_s = −16,85°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,945

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 85 MPa, R = 75,66 MPa

σ₁ = 160,7 MPa, σ₂ = 9,336 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(160,7² − 160,7·9,336 + 9,336²) = 156,2 MPa

n = 460/156,2 = 2,945

Cevap

n = 2,945

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,1741 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 20·1000/490,9 = 40,74 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 40,74/117000 = 0,0003482 = 348,2 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0003482·500 mm = 0,1741 mm

Cevap

δ = 0,1741 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 614,6 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·9346 = 7,171 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00125, 0,0008571) = 0,0008571 (alüminyum)

En büyük yük

P_max = 0,0008571·7,171 × 10⁸ = 614630 N = 614,6 kN

Cevap

P_max = 614,6 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 13,89 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2500² = 13891 N = 13,89 kN

Cevap

P_cr = 13,89 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 51,47 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 51,47 mm

Cevap

d = 51,47 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 155,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,2

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·2) = 800 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 160/800 = 0,2

Cevap

ζ = 0,2

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 60 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 20 = 60 kN/m

Cevap

k_eq = 60 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design