Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
2900 rpm ile çalışan 7,5 kW’lık bir motor 15 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 32 dişli bir dişliyi kavrıyor. Kayıpları ihmal edin. Motor milindeki tork T1 değerini bulun.
P = 7,5 kWn1 = 2900 rpmN1 = 15N2 = 32η = 100%
T1 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 15 dişi ve her planet dişlisinin 20 dişi var. Çember dişli sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 900 rpm ile döndürülüyor. Planet taşıyıcısının hızı nc değerini bulun.
Ns = 15Np = 20ns = 900 rpm
nc = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
Bir burulma deneyinde 20 mm çaplı dolu bir numune 50 N·m torkla burulmuştur. 200 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 0,94° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.
T = 50 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 0,94°
G = GPa
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir mil, kayma gerilmesi 80 MPa değerini aşmadan 1800 dev/dk’da 5 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.
P = 5 kWN = 1800 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θs açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).
σx = −60 MPaσy = 70 MPaτxy = 50 MPa
θs = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 30 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 45° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τθ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).
σx = 30 MPaσy = −40 MPaτxy = −20 MPaθ = -45°
τθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.
P = 75 kNd = 30 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.
P = 100 kNparça 1: Ø25 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 140 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 140 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
5 kg’lık bir kütle, rijitliği 40 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 70 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 5 kgk = 40 kN/mc = 70 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
20 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 50 kN/m ve k₂ = 5 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 20 kgk1 = 50 kN/mk2 = 5 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T1 = 24,7 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/303,7 = 24,7 N·m
Cevap
T1 = 24,7 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nc = 192,9 rpm
Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.
Çember dişli diş sayısı
Nr = Ns + 2·Np = 15 + 2·20 = 55
Çember sabitken Willis denklemi
nr = 0 alın ve taşıyıcı hızını çözün.
(900 − nc)/(0 − nc) = −55/15
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 900·15/70 = 192,9 rpm
Cevap
nc = 192,9 rpm
Taşıyıcı güneşle aynı yönde döner.
3.Millerin burulması
Cevap: G = 38,8 GPa
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti ve açı
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 0,94·π/180 = 0,01641 rad
Kayma modülü
T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·200/(15708·0,01641) = 38804 MPa
G = 38,8 GPa
Cevap
G = 38,8 GPa
Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.
4.Millerin burulması
Cevap: d = 11,91 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m
Emniyet gerilmesinden çap
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·26526/(π·80)) = 11,91 mm
Cevap
d = 11,91 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: θs = 26,22 °
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dairedeki açı
Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.
cos 2θs = 50/82,01 = 0,6097, sin 2θs = −(−65)/82,01 = 0,7926
2θs = atan2(65, 50) = 52,43°
Elemandaki açı
θs = 26,22°
kontrol: θs − θp = 26,22 − 71,22 = −45°
Cevap
θs = 26,22°
Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τθ = 35 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
τθ = −35·−1 + −20·0 = 35 MPa
Cevap
τθ = 35 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: ε = 530,5 µε
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 75·1000/706,9 = 106,1 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 106,1/200000 = 0,0005305 = 530,5 µε
Cevap
ε = 530,5 µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σmax = 884,2 MPa
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 203,7 MPa
σ2 = 884,2 MPa
En büyük gerilme
İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.
σmax = 884,2 MPa
Cevap
σmax = 884,2 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 27,63 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 1·1000 = 1000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1000² = 27635 N = 27,63 kN
Cevap
Pcr = 27,63 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 142,8 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2·140000 = 280000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 142,8 mm
Cevap
d = 142,8 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 336,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,07826
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·5) = 894,4 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 70/894,4 = 0,07826
Cevap
ζ = 0,07826
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 8,346 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 50 + 5 = 55 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(55000/20) = 52,44 rad/s
fn = 52,44/(2π) = 8,346 Hz
Cevap
fn = 8,346 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design