Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
Bir kayış, 1440 rpm ile dönen 120 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 400 N, gevşek tarafta 100 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.
d1 = 120 mmn1 = 1440 rpmT1 = 400 NT2 = 100 N
P = kW
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Açık bir kayış, merkezleri 800 mm arayla duran 150 mm’lik ve 200 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.
d1 = 150 mmd2 = 200 mmC = 800 mm
θ = °
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 250 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
60 mm çaplı dolu bir çelik mil A’da ankastredir. A’dan 2,5 m uzaklıktaki B’de 2000 N·m tork, ondan 1,5 m daha ötedeki serbest uç C’de ise aynı yönde 200 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
d = 60 mmTB = 2000 N·mTC = 200 N·mAB = 2,5 mBC = 1,5 m
τmax = MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 130 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θp değerini −90° ile 90° arasında bulun.
σx = 130 MPaσy = −30 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 130 MPa, σᵧ = 90 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 30° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τθ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).
σx = 130 MPaσy = 90 MPaτxy = 20 MPaθ = -30°
τθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.
P = 95 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 500 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 40 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.
kesim 1: çelik, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 50 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 50 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
80 kg’lık bir kütle, rijitliği 50 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 400 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 80 kgk = 50 kN/mc = 400 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
100 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 5 kN/m, alttakinin k₂ = 100 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 100 kgk1 = 5 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: P = 2,714 kW
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış hızı
v = 9,048 m/s
Güç
P = (400 − 100)·9,048 = 2714 W = 2,714 kW
Cevap
P = 2,714 kW
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: θ = 176,4 °
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış açısı
asin(0,03125) = 1,791°
Sarılma açısı
θ = 180 − 2·1,791 = 176,4°
Cevap
θ = 176,4°
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 0,8979 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(26000·613592) = 0,01567 rad
φ = 0,01567·180/π = 0,8979°
Cevap
φ = 0,8979°
4.Millerin burulması
Cevap: τmax = 51,87 MPa
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
İç torklar
TC’nin yönü pozitif alınmıştır.
TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC + TB = 200 + 2000 = 2200 N·m
En büyük kayma gerilmesi
İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).
|T|max = 2200 N·m
τmax = 16·2,2 × 10⁶/(π·60³) = 51,87 MPa
Cevap
τmax = 51,87 MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: θp = −7,018 °
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dairedeki açı
Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.
2θp = atan2(2·−20, 130 − −30) = −14,04°
Elemandaki açı
θp = −7,018°
Cevap
θp = −7,018°
Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τθ = 27,32 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
τθ = −20·−0,866 + 20·0,5 = 27,32 MPa
Cevap
τθ = 27,32 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: ε = 1344 µε
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 95·1000/706,9 = 134,4 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 134,4/100000 = 0,001344 = 1344 µε
Cevap
ε = 1344 µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σ2 = 19,28 MPa
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Rijitlikler
k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm
2. kesimin payı
F2 = 40000·301593/497942 = 24227 N
Gerilme
σ2 = 24227/1257 = 19,28 MPa (basınç)
Cevap
σ2 = 19,28 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 2,256 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/3500² = 2256 N = 2,256 kN
Cevap
Pcr = 2,256 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 58,37 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 58,37 mm
Cevap
d = 58,37 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 205,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,1
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·80) = 4000 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 400/4000 = 0,1
Cevap
ζ = 0,1
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 4,762 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/5 + 1/100 → keq = 5·100/(5 + 100) = 4,762 kN/m
Cevap
keq = 4,762 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design