Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

960 rpm ile çalışan 1,5 kW’lık bir motor 40 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 48 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Dişli milindeki çıkış torku T₂ değerini bulun.

P = 1,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 40N₂ = 48η = 96%

T₂ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

1450 rpm’deki 4 kW’lık bir motor A dişlisini (12 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (25 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (24 diş), çıkış milindeki D dişlisini (40 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %96’dır. Çıkış torku T_out değerini bulun.

P = 4 kWn_in = 1450 rpmA = 12B = 25C = 24D = 40η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 750 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 dev/dk’da 10 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 10 kWN = 750 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

60 mm çaplı dolu bir mil, 2000 N·m tork ile birlikte 90 kN eksenel basınç kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 60 mmF = −90 kNT = 2000 N·m

τ_max = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) bakır malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 60 mm, uzunluk 500 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,4 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 160 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 50 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 60 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaboru: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 10 mm’lik bir yer değiştirme tepesini bir çevrim sonra 7,3 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 10 mmx₁ = 7,3 mmn = 1

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

50 kg’lık bir kütle k₃ = 80 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 30 kN/m ve k₂ = 50 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₂ = 17,19 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/100,5 = 14,92 N·m

Çıkış torku

T₂ = 14,92·48/40·0,96 = 17,19 N·m

Cevap

T₂ = 17,19 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_out = 84,3 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çıkış hızı

n_out = 1450·(12/25)·(24/40) = 417,6 rpm

ω_out = 2π·417,6/60 = 43,73 rad/s

Çıkış gücü ve tork

P_out = 4000·0,96² = 3686 W

T_out = P_out/ω_out = 3686/43,73 = 84,3 N·m

Cevap

T_out = 84,3 N·m

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 4,489 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(39000·613592) = 0,07835 rad

φ = 0,07835·180/π = 4,489°

Cevap

φ = 4,489°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 10,81 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Polar atalet momenti

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 127324·20/235619 = 10,81 MPa

Cevap

τ_max = 10,81 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = −29 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·−40, 40 − −10) = −57,99°

Elemandaki açı

θ_p = −29°

Cevap

θ_p = −29°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 49,77 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = −90000/(π·60²/4) = −90000/2827 = −31,83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47,16 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = −15,92 MPa

R = √((−15,92)² + 47,16²) = 49,77 MPa

Cevap

τ_max = 49,77 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 69,96 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1,474 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,4/5,718 × 10⁻⁶ = 69957 N = 69,96 kN

Cevap

P = 69,96 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 424,1 kN

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0008, 0,0005) = 0,0005 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0005·8,482 × 10⁸ = 424115 N = 424,1 kN

Cevap

P_max = 424,1 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 23,03 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/4000² = 23029 N = 23,03 kN

Cevap

P_cr = 23,03 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 77,11 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6,25 = 160

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Cevap

σ_cr = 77,11 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,05003

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/1)·ln(10/7,3) = 0,3147

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3147/√(39,48 + 0,09904) = 0,05003

Cevap

ζ = 0,05003

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 4,502 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 30 + 50 = 80 kN/m

k_eq = 80·80/(80 + 80) = 40 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(40000/50) = 28,28 rad/s

f_n = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Cevap

f_n = 4,502 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design