Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 1450 rpm ile dönen 80 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 400 N, gevşek tarafta 80 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 80 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 400 NT₂ = 80 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

960 rpm’deki 15 kW’lık bir motor A dişlisini (12 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (25 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (18 diş), çıkış milindeki D dişlisini (20 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %98’dır. Çıkış torku T_out değerini bulun.

P = 15 kWn_in = 960 rpmA = 12B = 25C = 18D = 20η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Millerin burulmasıOrta

0,5 m uzunluğundaki dolu bir alüminyum mil 500 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 1,5°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 500 N·mL = 0,5 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1450 rpm’de 30 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 60 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 30 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 120 MPa, σᵧ = −70 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 25° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 120 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 800 mm ve et kalınlığı 12 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1,2 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 35° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 800 mmt = 12 mmp = 1,2 MPaα = 35°

σ_n = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 95 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 120 kNparça 1: Ø30 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 40 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 5 çevrim sonra 1,7 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 40 mmx₅ = 1,7 mmn = 5

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle k₃ = 100 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 100 kN/m ve k₂ = 80 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 1,944 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 6,074 m/s

Güç

P = (400 − 80)·6,074 = 1944 W = 1,944 kW

Cevap

P = 1,944 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_out = 331,7 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çıkış hızı

n_out = 960·(12/25)·(18/20) = 414,7 rpm

ω_out = 2π·414,7/60 = 43,43 rad/s

Çıkış gücü ve tork

P_out = 15000·0,98² = 14406 W

T_out = P_out/ω_out = 14406/43,43 = 331,7 N·m

Cevap

T_out = 331,7 N·m

3.Millerin burulması

Cevap: d = 43,98 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·500/(26000·0,02618) = 367281 mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 43,98 mm

Cevap

d = 43,98 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 26,15 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 197,6 N·m = 197572 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·197572/(π·60·0,9375)) = 26,15 mm

d_i = 0,5·26,15 = 13,08 mm

Cevap

d_o = 26,15 mm

Dolu bir mil d = 25,6 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = −28,4 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 25 − 95·0,6428 − (−10)·0,766 = −28,4 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 78,4 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = −28,4 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 33,42 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,2·400/12 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 20·sin²35° + 40·cos²35° = 33,42 MPa

Cevap

σ_n = 33,42 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 5,529 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/490,9 = 193,5 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 193,5/70000 = 0,002765 = 2765 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,002765·2000 mm = 5,529 mm

Cevap

δ = 5,529 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 382 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 169,8 MPa

σ₂ = 382 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 382 MPa

Cevap

σ_max = 382 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 94,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94,2 kN

Cevap

P_cr = 94,2 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 179 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Cevap

σ_cr = 179 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,1

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/5)·ln(40/1,7) = 0,6317

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6317/√(39,48 + 0,399) = 0,1

Cevap

ζ = 0,1

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 8,071 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 100 + 80 = 180 kN/m

k_eq = 180·100/(180 + 100) = 64,29 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(64286/25) = 50,71 rad/s

f_n = 50,71/(2π) = 8,071 Hz

Cevap

f_n = 8,071 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design