Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1440 rpm ile çalışan 5,5 kW’lık bir motor, 25 dişli ve 2,5 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet Ft değerini bulun.
P = 5,5 kWn = 1440 rpmN1 = 25m = 2,5 mm
Ft = N
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Açık bir kayış, 1500 rpm ile dönen 150 mm’lik bir tahrik kasnağını 250 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 500 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,25 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 1200 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).
d1 = 150 mmn1 = 1500 rpmd2 = 250 mmC = 500 mmμ = 0,25T1 = 1200 N
P = kW
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 100 N·md = 25 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir mil, kayma gerilmesi 50 MPa değerini aşmadan 1800 dev/dk’da 10 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.
P = 10 kWN = 1800 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 150 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = 150 MPaσy = −10 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 120 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 20° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 120 MPaσy = 40 MPaτxy = −60 MPaθ = 20°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.
P = 80 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 200 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 20 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.
kesim 1: çelik, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 4 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.
L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 25 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
15 kg’lık bir kütle, rijitliği 200 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 1730 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 15 kgk = 200 kN/mc = 1730 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
100 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 10 kN/m, alttakinin k₂ = 10 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 100 kgk1 = 10 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Ft = 1167 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Pinyondaki tork
ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T = P/ω = 5500/150,8 = 36,47 N·m
Bölüm dairesi çapı
d = m·N = 2,5·25 = 62,5 mm
Teğetsel kuvvet
Ft = 2T/d = 2·36,47/0,0625 = 1167 N
Cevap
Ft = 1167 N
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: P = 7,36 kW
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Sarılma açısı
θ = 2,941 rad
Gevşek taraftaki çekme kuvveti
eμθ = e0,7353 = 2,086, T₂ = 1200/2,086 = 575,2 N
Güç
P = (1200 − 575,2)·11,78 = 7,36 kW
Cevap
P = 7,36 kW
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 5,603 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·38350) = 0,09778 rad
φ = 0,09778·180/π = 5,603°
Cevap
φ = 5,603°
4.Millerin burulması
Cevap: d = 17,55 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 10000/188,5 = 53,05 N·m
Emniyet gerilmesinden çap
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·53052/(π·50)) = 17,55 mm
Cevap
d = 17,55 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 82,46 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((150 − −10)/2)² + 20²) = 82,46 MPa
Cevap
τmax = 82,46 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = 72,07 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 80 + 40·0,766 + −60·0,6428 = 72,07 MPa
Cevap
σθ = 72,07 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: ε = 814,9 µε
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 80·1000/490,9 = 163 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 163/200000 = 0,0008149 = 814,9 µε
Cevap
ε = 814,9 µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σ2 = 5,93 MPa
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Rijitlikler
k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 120000·2827/200 = 1,696 × 10⁶ N/mm
2. kesimin payı
F2 = 20000·1,696 × 10⁶/2,024 × 10⁶ = 16766 N
Gerilme
σ2 = 16766/2827 = 5,93 MPa (basınç)
Cevap
σ2 = 5,93 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 6,714 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/2800² = 6714 N = 6,714 kN
Cevap
Pcr = 6,714 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: σcr = 55,08 MPa
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Atalet yarıçapı ve narinlik
A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/6,25 = 112
Kritik gerilme
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55,08 MPa
Cevap
σcr = 55,08 MPa
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,4994
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·15) = 3464 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 1730/3464 = 0,4994
Cevap
ζ = 0,4994
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 5 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/10 + 1/10 → keq = 10·10/(10 + 10) = 5 kN/m
Cevap
keq = 5 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design