Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
2900 rpm ile çalışan 3 kW’lık bir motor 45 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 80 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %97. Dişli milindeki çıkış torku T2 değerini bulun.
P = 3 kWn1 = 2900 rpmN1 = 45N2 = 80η = 97%
T2 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bileşik bir dişli dizisinde, 2900 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (15 diş) B dişlisini (32 diş) döndürüyor. C dişlisi (16 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (72 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.
nin = 2900 rpmA = 15B = 32C = 16D = 72
nout = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
25 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 0,5 m ve B’den 1,5 m uzaklıktaki C’de 100 N·m tork uygulanıyor. C kesitinin dönme açısı φC değerini derece cinsinden bulun.
d = 25 mmT0 = 100 N·ma = 0,5 mb = 1,5 mG = 80 GPa
φC = °
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Bir noktada σₓ = 110 MPa ve σᵧ = 20 MPa’dır. En büyük asal gerilme 140 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τxy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?
σx = 110 MPaσy = 20 MPaσ1 = 140 MPa
τxy = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 50° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τθ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).
σx = 100 MPaσy = −30 MPaτxy = −60 MPaθ = 50°
τθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.
P = 105 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.
P = 70 kNparça 1: Ø35 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø16 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 20 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 20 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
80 kg’lık bir kütle, rijitliği 15 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 180 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 80 kgk = 15 kN/mc = 180 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
5 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 12 kN/m, alttakinin k₂ = 80 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 5 kgk1 = 12 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T2 = 17,04 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/303,7 = 9,879 N·m
Çıkış torku
T2 = 9,879·80/45·0,97 = 17,04 N·m
Cevap
T2 = 17,04 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nout = 302,1 rpm
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Birinci kademe
nB = 2900·15/32 = 1359 rpm = nC
İkinci kademe
nout = 1359·16/72 = 302,1 rpm
Cevap
nout = 302,1 rpm
toplam oran = 9,6 : 1
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 19,73 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(26000·251327) = 0,3443 rad
φ = 0,3443·180/π = 19,73°
Cevap
φ = 19,73°
4.Millerin burulması
Cevap: φC = 0,7003 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).
Denge ve uygunluk
TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·1,5/2 = 75 N·m
TB = 100·0,5/2 = 25 N·m
C’nin dönmesi
AC parçasını kullanın: A’da ankastredir ve TA taşır.
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 75000·500/(80000·38350) = 0,01222 rad = 0,7003°
Cevap
φC = 0,7003°
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τxy = 60 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Gerekli yarıçap
C = (110 + 20)/2 = 65 MPa
R = σ1 − C = 140 − 65 = 75 MPa
Kayma gerilmesi
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 45²) = 60 MPa
Cevap
τxy = 60 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τθ = −53,59 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
τθ = −65·0,9848 + −60·−0,1736 = −53,59 MPa
Cevap
τθ = −53,59 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: ε = 2611 µε
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 105·1000/201,1 = 522,2 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 522,2/200000 = 0,002611 = 2611 µε
Cevap
ε = 2611 µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σmax = 348,2 MPa
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 72,76 MPa
σ2 = 348,2 MPa
En büyük gerilme
İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.
σmax = 348,2 MPa
Cevap
σmax = 348,2 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 69,09 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 1·2500 = 2500 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2500² = 69087 N = 69,09 kN
Cevap
Pcr = 69,09 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 44,35 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 3·20000 = 60000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 44,35 mm
Cevap
d = 44,35 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 225,5, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,08216
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·80) = 2191 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 180/2191 = 0,08216
Cevap
ζ = 0,08216
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 7,271 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/12 + 1/80 → keq = 12·80/(12 + 80) = 10,43 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(10435/5) = 45,68 rad/s
fn = 45,68/(2π) = 7,271 Hz
Cevap
fn = 7,271 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design