Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

3 ağızlı bir sonsuz vida 1440 rpm ile dönüyor ve 50 dişli bir sonsuz vida çarkını tahrik ediyor. Çarkın hızı n_w değerini bulun.

z = 3N_w = 50n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 1450 rpm ile dönen 125 mm’lik bir tahrik kasnağını 315 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 800 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,3 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 1200 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 315 mmC = 800 mmμ = 0,3T₁ = 1200 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 dev/dk’da 100 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 110 MPa ve σᵧ = −30 MPa’dır. En büyük asal gerilme 145 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 110 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = 145 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 800 mm ve et kalınlığı 15 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 30° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 800 mmt = 15 mmp = 1,5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 50 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 800 mm’dir ve rijit levhalar arasında 250 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 250 kNçubuk: Ø30 mm, E = 200 GPaboru: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 400 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 100 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 40 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 2 çevrim sonra 11,3 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 40 mmx₂ = 11,3 mmn = 2

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

40 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 12 kN/m ve k₂ = 15 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_w = 86,4 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 1440·3/50 = 86,4 rpm

Cevap

n_w = 86,4 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 6,622 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Sarılma açısı

θ = 2,904 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,8711 = 2,389, T₂ = 1200/2,389 = 502,2 N

Güç

P = (1200 − 502,2)·9,49 = 6,622 kW

Cevap

P = 6,622 kW

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 3,42 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(80000·251327) = 0,05968 rad

φ = 0,05968·180/π = 3,42°

Cevap

φ = 3,42°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 171,6 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Polar atalet momenti

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,273 × 10⁶·20/148384 = 171,6 MPa

Cevap

τ_max = 171,6 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 78,26 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (110 + (−30))/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 145 − 40 = 105 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 70²) = 78,26 MPa

Cevap

τ_xy = 78,26 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 35 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,5·400/15 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 20·sin²30° + 40·cos²30° = 35 MPa

Cevap

σ_n = 35 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,4181 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·3063 = 4,783 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 250000·800/4,783 × 10⁸ = 0,4181 mm

Cevap

δ = 0,4181 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 34,41 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 100000·589049/871792 = 67568 N

Gerilme

σ₂ = 67568/1963 = 34,41 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 34,41 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 9,462 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Cevap

P_cr = 9,462 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 30,71 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Cevap

σ_cr = 30,71 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,1001

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/2)·ln(40/11,3) = 0,632

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,632/√(39,48 + 0,3995) = 0,1001

Cevap

ζ = 0,1001

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 4,135 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 15 = 27 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(27000/40) = 25,98 rad/s

f_n = 25,98/(2π) = 4,135 Hz

Cevap

f_n = 4,135 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design