Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1500 rpm ile çalışan 1,1 kW’lık bir motor 18 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 45 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %97. Dişli milindeki çıkış torku T₂ değerini bulun.

P = 1,1 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 45η = 97%

T₂ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 2900 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (20 diş) B dişlisini (72 diş) döndürüyor. C dişlisi (16 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (25 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 2900 rpmA = 20B = 72C = 16D = 25

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

50 mm çaplı dolu bir alüminyum mil A’da ankastredir. A’dan 1 m uzaklıktaki B’de 750 N·m tork, ondan 1,2 m daha ötedeki serbest uç C’de ise aynı yönde 100 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 50 mmT_B = 750 N·mT_C = 100 N·mAB = 1 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −10 MPa ve σᵧ = 80 MPa’dır. En büyük asal gerilme 135 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = −10 MPaσ_y = 80 MPaσ₁ = 135 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

30 mm çaplı dolu bir mil, 250 N·m tork ile birlikte 100 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 30 mmM = 100 N·mT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 55 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 50 kNparça 1: Ø40 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

500 kg’lık bir kütle, rijitliği 50 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 4000 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 500 kgk = 50 kN/mc = 4000 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle k₃ = 25 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 40 kN/m ve k₂ = 80 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₂ = 16,98 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m

Çıkış torku

T₂ = 7,003·45/18·0,97 = 16,98 N·m

Cevap

T₂ = 16,98 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 515,6 rpm

Birinci kademe

n_B = 2900·20/72 = 805,6 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 805,6·16/25 = 515,6 rpm

Cevap

n_out = 515,6 rpm

toplam oran = 5,625 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,7183 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Cevap

φ = 0,7183°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 34,63 MPa

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 750 = 850 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|_max = 850 N·m

τ_max = 16·850000/(π·50³) = 34,63 MPa

Cevap

τ_max = 34,63 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 89,3 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (−10 + 80)/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 135 − 35 = 100 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(100² − 45²) = 89,3 MPa

Cevap

τ_xy = 89,3 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 69,65 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37,73 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·30³) = 47,16 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 18,86 MPa

R = √(18,86² + 47,16²) = 50,79 MPa

σ₁ = C + R = 69,65 MPa

σ₂ = C − R = −31,93 MPa

Cevap

σ₁ = 69,65 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,3325 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/706,9 = 77,81 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 77,81/117000 = 0,000665 = 665 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,000665·500 mm = 0,3325 mm

Cevap

δ = 0,3325 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,205 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 39,79 MPa

σ₂ = 442,1 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 39,79·500/200000 = 0,09947 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 442,1·500/200000 = 1,105 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,205 mm

Cevap

δ = 1,205 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 4,998 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·6000 = 12000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/12000² = 4998 N = 4,998 kN

Cevap

P_cr = 4,998 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 26,99 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Cevap

σ_cr = 26,99 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,4

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·500) = 10000 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 4000/10000 = 0,4

Cevap

ζ = 0,4

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 4,579 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 40 + 80 = 120 kN/m

k_eq = 120·25/(120 + 25) = 20,69 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(20690/25) = 28,77 rad/s

f_n = 28,77/(2π) = 4,579 Hz

Cevap

f_n = 4,579 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design