Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

960 rpm ile dönen 125 mm’lik bir kasnak, %1,5 kaymayla bir kayış aracılığıyla 500 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n₂ bulun.

n₁ = 960 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 500 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (30 diş) 960 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (32 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (30 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 375 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi N_D olmalıdır?

n_in = 960 rpmA = 30B = 32C = 30n_out = 375 rpm

N_D =

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 400 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 60 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 50 MPa değerini aşmadan 3000 dev/dk’da 15 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 15 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 110 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 110 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 275 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = −60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 80 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 120 kNparça 1: Ø40 mm, 1 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø12 mm, 0,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 130 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 130 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 40 kN/m olan bir yay üzerindeki 2 kg’lık bir kütlenin, 0,3 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 2 kgk = 40 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 60 kN/m, alttakinin k₂ = 80 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n₂ = 236,4 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

960·125/500 = 240 rpm

Kaymayla

n₂ = 240·0,985 = 236,4 rpm

Cevap

n₂ = 236,4 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N_D = 72

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Ara mil hızı

n_B = n_C = 960·30/32 = 900 rpm

D dişlisinin diş sayısı

N_D = C·n_C/n_out = 30·900/375 = 72

Cevap

N_D = 72

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 33,09 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·60·0,9375)) = 33,09 mm

d_i = 0,5·33,09 = 16,54 mm

Cevap

d_o = 33,09 mm

Dolu bir mil d = 32,38 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 16,94 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 15000/314,2 = 47,75 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·47746/(π·50)) = 16,94 mm

Cevap

d = 16,94 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 20,3 °

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·60, 110 − −30) = 40,6°

Elemandaki açı

θ_p = 20,3°

Cevap

θ_p = 20,3°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,174

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = −40 MPa, R = 63,25 MPa

σ₁ = 23,25 MPa, σ₂ = −103,2 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 126,5 MPa

n = 275/126,5 = 2,174

Cevap

n = 2,174

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 7,276 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 80·1000/314,2 = 254,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/70000 = 0,003638 = 3638 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,003638·2000 mm = 7,276 mm

Cevap

δ = 7,276 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 1061 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 1061 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 1061 MPa

Cevap

σ_max = 1061 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 44,98 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/4000² = 44979 N = 44,98 kN

Cevap

P_cr = 44,98 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 126,7 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 126,7 mm

Cevap

d = 126,7 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 252,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 21,47 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(40000/2) = 141,4 rad/s

f_n = 141,4/(2π) = 22,51 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 22,51·√(1 − 0,3²) = 21,47 Hz

Cevap

f_d = 21,47 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 34,29 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/80 → k_eq = 60·80/(60 + 80) = 34,29 kN/m

Cevap

k_eq = 34,29 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design