Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

2900 rpm’deki 2,2 kW’lık bir motor 2 ağızlı bir sonsuz vidayı tahrik ediyor. Sonsuz vida çarkının 72 dişi var ve aktarmanın verimi %60’tür. Çark milindeki çıkış torku T_w değerini bulun.

z = 2N_w = 72n = 2900 rpmP = 2,2 kWη = 60%

T_w = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 20 dişi ve her planet dişlisinin 24 dişi var. Çember dişli sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 3000 rpm ile döndürülüyor. Planet taşıyıcısının hızı n_c değerini bulun.

N_s = 20N_p = 24n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1500 dev/dk’da 100 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 100 mmd_i = 75 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −70 MPa, σᵧ = 0 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −70 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 800 mm ve et kalınlığı 6 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1,2 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 25° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişi boyunca etkiyen kayma gerilmesinin büyüklüğü |τ_n| değerini bulun.

D = 800 mmt = 6 mmp = 1,2 MPaα = 25°

|τ_n| = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 60 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,4 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 55 kNparça 1: Ø30 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 140 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 140 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 20 kN/m olan bir yay üzerindeki 10 kg’lık bir kütlenin, 0,45 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk = 20 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

40 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 100 kN/m, alttakinin k₂ = 30 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_w = 156,5 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 2900·2/72 = 80,56 rpm

Çıkış torku

ω_w = 2π·80,56/60 = 8,436 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,6·2200/8,436 = 156,5 N·m

Cevap

T_w = 156,5 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_c = 681,8 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·24 = 68

Çember sabitken Willis denklemi

n_r = 0 alın ve taşıyıcı hızını çözün.

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −68/20

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·20/88 = 681,8 rpm

Cevap

n_c = 681,8 rpm

Taşıyıcı güneşle aynı yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 2,923 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·251327) = 0,05101 rad

φ = 0,05101·180/π = 2,923°

Cevap

φ = 2,923°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 4,743 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Polar atalet momenti

J = π(100⁴ − 75⁴)/32 = 6,711 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·50/6,711 × 10⁶ = 4,743 MPa

Cevap

τ_max = 4,743 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 46,1 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−70 − 0)/2)² + −30²) = 46,1 MPa

Cevap

τ_max = 46,1 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: |τ_n| = 15,32 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,2·400/6 = 80 MPa

σ_a = pr/(2t) = 40 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

|τ_n| = (80 − 40)·sin 25°·cos 25° = 15,32 MPa

Cevap

|τ_n| = 15,32 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 87,96 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·2827) = 1,011 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,4/4,547 × 10⁻⁶ = 87965 N = 87,96 kN

Cevap

P = 87,96 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 3,903 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 77,81 MPa

σ₂ = 273,5 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,81·1500/100000 = 1,167 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 273,5·1000/100000 = 2,735 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,903 mm

Cevap

δ = 3,903 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 6,407 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3500² = 6407 N = 6,407 kN

Cevap

P_cr = 6,407 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 65,19 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 65,19 mm

Cevap

d = 65,19 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 153,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 6,356 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(20000/10) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,45²) = 6,356 Hz

Cevap

f_d = 6,356 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 3,823 Hz

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/30 → k_eq = 100·30/(100 + 30) = 23,08 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(23077/40) = 24,02 rad/s

f_n = 24,02/(2π) = 3,823 Hz

Cevap

f_n = 3,823 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design