Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 7,5 kW’lık bir motor 32 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 40 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %98. Dişli milindeki çıkış torku T₂ değerini bulun.

P = 7,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 32N₂ = 40η = 98%

T₂ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, merkezleri 500 mm arayla duran 125 mm’lik ve 450 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d₁ = 125 mmd₂ = 450 mmC = 500 mm

θ = °

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 2000 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,8 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 50 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

60 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 0,8 m uzaklıktaki B’de 1000 N·m tork, ondan 3 m daha ötedeki serbest uç C’de ise aynı yönde 250 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 60 mmT_B = 1000 N·mT_C = 250 N·mAB = 0,8 mBC = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 130 MPa ve σᵧ = −50 MPa’dır. En büyük asal gerilme 190 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 130 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 190 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 300 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = −60 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bronz malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 30 mm, uzunluk 400 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,5 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 400 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 80 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 40 kN/m olan bir yay üzerindeki 12 kg’lık bir kütlenin, 0,7 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 12 kgk = 40 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

100 kg’lık bir kütle k₃ = 20 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 50 kN/m ve k₂ = 100 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₂ = 60,93 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/150,8 = 49,74 N·m

Çıkış torku

T₂ = 49,74·40/32·0,98 = 60,93 N·m

Cevap

T₂ = 60,93 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 142,1 °

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış açısı

asin(0,325) = 18,97°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·18,97 = 142,1°

Cevap

θ = 142,1°

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 70,14 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·50·0,5904)) = 70,14 mm

d_i = 0,8·70,14 = 56,11 mm

Cevap

d_o = 70,14 mm

Dolu bir mil d = 58,84 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 2,021 °

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 1000 = 1250 N·m

Her parçanın burulması

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,25 × 10⁶·800/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,02015 rad

φ_BC = 250000·3000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,01511 rad

C ucunun burulması

φ_C = 0,02015 + 0,01511 = 0,03527 rad → |φ_C| = 2,021°

Cevap

φ_C = 2,021°

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 120 MPa

Gerekli yarıçap

C = (130 + (−50))/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 190 − 40 = 150 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(150² − 90²) = 120 MPa

Cevap

τ_xy = 120 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 4,045

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = −25 MPa, R = 40,31 MPa

σ₁ = 15,31 MPa, σ₂ = −65,31 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(15,31² − 15,31·(−65,31) + (−65,31)²) = 74,16 MPa

n = 300/74,16 = 4,045

Cevap

n = 4,045

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 38,16 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·706,9) = 5,144 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,5/1,31 × 10⁻⁵ = 38162 N = 38,16 kN

Cevap

P = 38,16 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 75,76 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 120000·706,9/400 = 212058 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 80000·212058/316777 = 53554 N

Gerilme

σ₂ = 53554/706,9 = 75,76 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 75,76 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 195,3 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195,3 kN

Cevap

P_cr = 195,3 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 179 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Cevap

σ_cr = 179 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 6,562 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(40000/12) = 57,74 rad/s

f_n = 57,74/(2π) = 9,189 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 9,189·√(1 − 0,7²) = 6,562 Hz

Cevap

f_d = 6,562 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,114 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 50 + 100 = 150 kN/m

k_eq = 150·20/(150 + 20) = 17,65 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(17647/100) = 13,28 rad/s

f_n = 13,28/(2π) = 2,114 Hz

Cevap

f_n = 2,114 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design