Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
Bir kayış, 1440 rpm ile dönen 160 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 1200 N, gevşek tarafta 480 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.
d1 = 160 mmn1 = 1440 rpmT1 = 1200 NT2 = 480 N
P = kW
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 18 dişi ve her planet dişlisinin 18 dişi var. Planet taşıyıcısı sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 1500 rpm ile döndürülüyor. Çember dişlinin hızı nr değerini (büyüklük) bulun.
Ns = 18Np = 18ns = 1500 rpm
nr = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
İçi boş bir mil 200 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,75 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 40 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap do değerini bulun.
T = 200 N·mdi/do = 0,75τallow = 40 MPa
do = mm
4.Millerin burulmasıZor
40 mm çaplı dolu bir pirinç mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 2,5 m ve B’den 1,5 m uzaklıktaki C’de 500 N·m tork uygulanıyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
d = 40 mmT0 = 500 N·ma = 2,5 mb = 1,5 m
τmax = MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θp değerini −90° ile 90° arasında bulun.
σx = 120 MPaσy = 10 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 130 MPa, σᵧ = −70 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 60° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 130 MPaσy = −70 MPaτxy = −50 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.
P = 70 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 300 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 30 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.
kesim 1: çelik, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 135 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 135 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
200 kg’lık bir kütle, rijitliği 50 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 1260 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 200 kgk = 50 kN/mc = 1260 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
25 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 60 kN/m ve k₂ = 50 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 25 kgk1 = 60 kN/mk2 = 50 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: P = 8,686 kW
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış hızı
v = 12,06 m/s
Güç
P = (1200 − 480)·12,06 = 8686 W = 8,686 kW
Cevap
P = 8,686 kW
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nr = 500 rpm
Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.
Çember dişli diş sayısı
Nr = Ns + 2·Np = 18 + 2·18 = 54
Taşıyıcı sabitken Willis denklemi
nc = 0 iken güneş dişlisi, ara dişli gibi davranan planetler aracılığıyla çemberi tahrik eder.
nr = −ns·Ns/Nr = −1500·18/54 = −500 rpm
|nr| = 500 rpm
Cevap
nr = 500 rpm
Çember güneşe ters yönde döner.
3.Millerin burulması
Cevap: do = 33,4 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Emniyet gerilmesinden dış çap
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·40·0,6836)) = 33,4 mm
di = 0,75·33,4 = 25,05 mm
Cevap
do = 33,4 mm
Dolu bir mil d = 29,42 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.
4.Millerin burulması
Cevap: τmax = 24,87 MPa
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).
Denge ve uygunluk
TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·1,5/4 = 187,5 N·m
TB = 500·2,5/4 = 312,5 N·m
En büyük kayma gerilmesi
İki torktan büyük olanı belirleyicidir (aynı çap).
τmax = 16·312500/(π·40³) = 24,87 MPa
Cevap
τmax = 24,87 MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: θp = 18,01 °
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dairedeki açı
Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.
2θp = atan2(2·40, 120 − 10) = 36,03°
Elemandaki açı
θp = 18,01°
Cevap
θp = 18,01°
Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = −63,3 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 30 + 100·−0,5 + −50·0,866 = −63,3 MPa
Cevap
σθ = −63,3 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: ε = 990,3 µε
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 70·1000/706,9 = 99,03 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 99,03/100000 = 0,0009903 = 990,3 µε
Cevap
ε = 990,3 µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σ2 = 15,28 MPa
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Rijitlikler
k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm
k₂ = 120000·1257/300 = 502655 N/mm
2. kesimin payı
F2 = 30000·502655/785398 = 19200 N
Gerilme
σ2 = 19200/1257 = 15,28 MPa (basınç)
Cevap
σ2 = 15,28 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 115,1 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/2500² = 115145 N = 115,1 kN
Cevap
Pcr = 115,1 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 81,39 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 81,39 mm
Cevap
d = 81,39 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 103,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,1992
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·200) = 6325 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 1260/6325 = 0,1992
Cevap
ζ = 0,1992
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 110 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 60 + 50 = 110 kN/m
Cevap
keq = 110 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design