Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1450 rpm ile dönen 125 mm’lik bir kasnak, %1 kaymayla bir kayış aracılığıyla 400 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n₂ bulun.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 400 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 1450 rpm ile dönen 100 mm’lik bir tahrik kasnağını 250 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 1000 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,3 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 600 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 100 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 250 mmC = 1000 mmμ = 0,3T₁ = 600 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 20 mm çaplı dolu bir numune 40 N·m torkla burulmuştur. 250 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 0,94° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 40 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0,94°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 dev/dk’da 75 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 130 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünde 45° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 130 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 70 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 420 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 70 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında çelik çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 65 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 300 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 40 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 35 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 35 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 15 kN/m olan bir yay üzerindeki 80 kg’lık bir kütlenin, 0,5 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 80 kgk = 15 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

10 kg’lık bir kütle k₃ = 80 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 30 kN/m ve k₂ = 80 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n₂ = 448,6 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

1450·125/400 = 453,1 rpm

Kaymayla

n₂ = 453,1·0,99 = 448,6 rpm

Cevap

n₂ = 448,6 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 2,699 kW

Sarılma açısı

θ = 2,991 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,8974 = 2,453, T₂ = 600/2,453 = 244,6 N

Güç

P = (600 − 244,6)·7,592 = 2,699 kW

Cevap

P = 2,699 kW

3.Millerin burulması

Cevap: G = 38,8 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,94·π/180 = 0,01641 rad

Kayma modülü

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(15708·0,01641) = 38804 MPa

G = 38,8 GPa

Cevap

G = 38,8 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 19,53 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Polar atalet momenti

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·37,5/1,834 × 10⁶ = 19,53 MPa

Cevap

τ_max = 19,53 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = 80 MPa

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 70 − 60·0 − 10·(−1) = 80 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 60 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 140 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = 80 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 3,969

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 10 MPa, R = 60,83 MPa

σ₁ = 70,83 MPa, σ₂ = −50,83 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(70,83² − 70,83·(−50,83) + (−50,83)²) = 105,8 MPa

n = 420/105,8 = 3,969

Cevap

n = 3,969

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,586 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 65·1000/314,2 = 206,9 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 206,9/200000 = 0,001035 = 1035 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001035·2500 mm = 2,586 mm

Cevap

δ = 2,586 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 16,58 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 40000·458149/562869 = 32558 N

Gerilme

σ₂ = 32558/1963 = 16,58 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 16,58 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 38,59 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38,59 kN

Cevap

P_cr = 38,59 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 44,67 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 44,67 mm

Cevap

d = 44,67 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 188, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 1,887 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(15000/80) = 13,69 rad/s

f_n = 13,69/(2π) = 2,179 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,179·√(1 − 0,5²) = 1,887 Hz

Cevap

f_d = 1,887 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 10,83 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 30 + 80 = 110 kN/m

k_eq = 110·80/(110 + 80) = 46,32 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(46316/10) = 68,06 rad/s

f_n = 68,06/(2π) = 10,83 Hz

Cevap

f_n = 10,83 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design