Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 7,5 kW’lık bir motor 15 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 18 dişli bir dişliyi kavrıyor. Kayıpları ihmal edin. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 7,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 15N₂ = 18η = 100%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 24 dişi ve her planet dişlisinin 24 dişi var. Planet taşıyıcısı sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 1440 rpm ile döndürülüyor. Çember dişlinin hızı n_r değerini (büyüklük) bulun.

N_s = 24N_p = 24n_s = 1440 rpm

n_r = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 30 mm, iç çap 21 mm, uzunluk 1 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 500 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 3000 rpm’de 15 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 60 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 15 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 30 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 120 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 350 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = −50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında çelik çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 15 kNd = 20 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 400 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 100 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 115 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 115 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

20 kg’lık bir kütle, rijitliği 200 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 320 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 20 kgk = 200 kN/mc = 320 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

40 kg’lık bir kütle k₃ = 12 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 80 kN/m ve k₂ = 100 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 49,74 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/150,8 = 49,74 N·m

Cevap

T₁ = 49,74 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_r = 480 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·24 = 72

Taşıyıcı sabitken Willis denklemi

n_c = 0 iken güneş dişlisi, ara dişli gibi davranan planetler aracılığıyla çemberi tahrik eder.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1440·24/72 = −480 rpm

|n_r| = 480 rpm

Cevap

n_r = 480 rpm

Çember güneşe ters yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 18,23 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Burulma açısı

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1000/(26000·60428) = 0,3182 rad

φ = 0,3182·180/π = 18,23°

Cevap

φ = 18,23°

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 16,29 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 15000/314,2 = 47,75 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 47,75 N·m = 47746 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·60·0,9375)) = 16,29 mm

d_i = 0,5·16,29 = 8,145 mm

Cevap

d_o = 16,29 mm

Dolu bir mil d = 15,94 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 71,13 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 75 MPa, R = √(45² + (−50)²) = 67,27 MPa

σ₁ = 142,3 MPa, σ₂ = 7,732 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(134,5, 142,3, 7,732)/2 = 71,13 MPa

Cevap

τ_abs = 71,13 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 1,978

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 15 MPa, R = 88,46 MPa

σ₁ = 103,5 MPa, σ₂ = −73,46 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 176,9 MPa

n = 350/176,9 = 1,978

Cevap

n = 1,978

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,7162 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 15·1000/314,2 = 47,75 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 47,75/200000 = 0,0002387 = 238,7 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0002387·3000 mm = 0,7162 mm

Cevap

δ = 0,7162 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 24,97 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 120000·2827/400 = 848230 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 100000·848230/1,202 × 10⁶ = 70588 N

Gerilme

σ₂ = 70588/2827 = 24,97 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 24,97 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 17,27 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/5000² = 17272 N = 17,27 kN

Cevap

P_cr = 17,27 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 132,2 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 132,2 mm

Cevap

d = 132,2 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 181,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,08

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·20) = 4000 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 320/4000 = 0,08

Cevap

ζ = 0,08

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,669 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 80 + 100 = 180 kN/m

k_eq = 180·12/(180 + 12) = 11,25 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(11250/40) = 16,77 rad/s

f_n = 16,77/(2π) = 2,669 Hz

Cevap

f_n = 2,669 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design