Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 1500 rpm ile dönen 160 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 400 N, gevşek tarafta 100 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 160 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 400 NT₂ = 100 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 960 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (24 diş) B dişlisini (30 diş) döndürüyor. C dişlisi (48 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (80 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 960 rpmA = 24B = 30C = 48D = 80

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

1 m uzunluğundaki dolu bir alüminyum mil 1000 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 1°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 1000 N·mL = 1 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

25 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 2 m uzaklıktaki B’de 1000 N·m tork, ondan 3 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 500 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 25 mmT_B = 1000 N·mT_C = 500 N·mAB = 2 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 130 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 30° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 50 mm, E = 100 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 600 mm’dir ve rijit levhalar arasında 250 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 250 kNçubuk: Ø40 mm, E = 200 GPaboru: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 250 MPa), alüminyum malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 50 mm, E = 70 GPa, izin verilen gerilme 70 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaboru: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 40 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 4 çevrim sonra 11,4 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 40 mmx₄ = 11,4 mmn = 4

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 100 kN/m ve k₂ = 30 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 3,77 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 12,57 m/s

Güç

P = (400 − 100)·12,57 = 3770 W = 3,77 kW

Cevap

P = 3,77 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 460,8 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

n_B = 960·24/30 = 768 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 768·48/80 = 460,8 rpm

Cevap

n_out = 460,8 rpm

toplam oran = 2,083 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: d = 68,83 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1000/(26000·0,01745) = 2,204 × 10⁶ mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 68,83 mm

Cevap

d = 68,83 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 163 MPa

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 1000 = −500 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Cevap

τ_max = 163 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 65,96 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 105 MPa, R = √(25² + 10²) = 26,93 MPa

σ₁ = 131,9 MPa, σ₂ = 78,07 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(53,85, 131,9, 78,07)/2 = 65,96 MPa

Cevap

τ_abs = 65,96 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 25,8 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = −25 + 15·0,5 + −50·−0,866 = 25,8 MPa

Cevap

σ_θ = 25,8 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,1265 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1,186 × 10⁹ N

Kısalma

δ = 250000·600/1,186 × 10⁹ = 0,1265 mm

Cevap

δ = 0,1265 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 663,7 kN

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5890 = 6,637 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00125, 0,001) = 0,001 (alüminyum)

En büyük yük

P_max = 0,001·6,637 × 10⁸ = 663661 N = 663,7 kN

Cevap

P_max = 663,7 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 88,83 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2000² = 88826 N = 88,83 kN

Cevap

P_cr = 88,83 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 17,77 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Cevap

σ_cr = 17,77 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,04988

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/4)·ln(40/11,4) = 0,3138

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3138/√(39,48 + 0,09848) = 0,04988

Cevap

ζ = 0,04988

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 130 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 30 = 130 kN/m

Cevap

k_eq = 130 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design