Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Güç
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi
toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Statik çökmeden
ωn = √(g/δst)
Kritik sönüm
cc = 2√(km) = 2mωn
Sönüm oranı
ζ = c/cc
Sönümlü frekans
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar
k = k1 + k2
Seri yaylar
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
d1​ = 100 mmd2​ = 315 mm1450 rpmn2​ = ?

1450 rpm ile dönen 100 mm’lik bir kasnak, %2 kaymayla bir kayış aracılığıyla 315 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n2 bulun.

n1 = 1450 rpmd1 = 100 mmd2 = 315 mms = 2 %
n2 = rpm
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
d1​ = 125 mmd2​ = 250 mm1440 rpmC = 1000 mmθ = ?

Açık bir kayış, merkezleri 1000 mm arayla duran 125 mm’lik ve 250 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d1 = 125 mmd2 = 250 mmC = 1000 mm
θ = °
3.Millerin burulmasıOrta
d = 12 mmT = 40 N·m250 mmφ = 3,52°

Bir burulma deneyinde 12 mm çaplı dolu bir numune 40 N·m torkla burulmuştur. 250 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 3,52° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 40 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 3,52°
G = GPa
4.Millerin burulmasıZor
d = 20 mmT0​ = 500 N·mACBa = 1,2 mb = 2 m

20 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1,2 m ve B’den 2 m uzaklıktaki C’de 500 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku TA değerini bulun.

d = 20 mmT0 = 500 N·ma = 1,2 mb = 2 m
TA = N·m
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = −30σy​ = 80τxy​ = 60MPa

Bir noktada σₓ = −30 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 50° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σy′ değerini bulun.

σx = −30 MPaσy = 80 MPaτxy = 60 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = −70σy​ = 20τxy​ = 30MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −70 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 15° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.

σx = −70 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 30 mmAlüminyum0,5 mP = 65 kN

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 65 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 25 mmAlüminyum2 mØ 12 mmBakır1 mP = 85 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 85 kNparça 1: Ø25 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1 m, bakır (E = 117 GPa)
δ = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 4 md = 25 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 2,5 md = 50 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
tx10 mm4 çevrim6 mm

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 10 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 4 çevrim sonra 6 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x0 = 10 mmx4 = 6 mmn = 4
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
k1​ = 10k2​ = 10m = 100 kg

100 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 10 kN/m ve k₂ = 10 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 100 kgk1 = 10 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n2 = 451,1 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

1450·100/315 = 460,3 rpm

Kaymayla

n2 = 460,3·0,98 = 451,1 rpm

Cevap

n2 = 451,1 rpm
2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 172,8 °

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış açısı

asin(0,0625) = 3,583°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·3,583 = 172,8°

Cevap

θ = 172,8°
3.Millerin burulması

Cevap: G = 79,96 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 3,52·π/180 = 0,06144 rad

Kayma modülü

T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·250/(2036·0,06144) = 79957 MPa
G = 79,96 GPa

Cevap

G = 79,96 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: TA = 312,5 N·m

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·2/3,2 = 312,5 N·m
TB = 500·1,2/3,2 = 187,5 N·m

Cevap

TA = 312,5 N·m
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σy′ = −43,64 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σy′ = 25 − (−55)·(−0,1736) − 60·0,9848 = −43,64 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σx′ = 93,64 MPa, σx′ + σy′ = 50 = σx + σy

Cevap

σy′ = −43,64 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σθ = −48,97 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

σθ = −25 + −45·0,866 + 30·0,5 = −48,97 MPa

Cevap

σθ = −48,97 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,6568 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 65·1000/706,9 = 91,96 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 91,96/70000 = 0,001314 = 1314 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001314·500 mm = 0,6568 mm

Cevap

δ = 0,6568 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 11,37 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 173,2 MPa
σ2 = 751,6 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ1 = σ1L1/E1 = 173,2·2000/70000 = 4,947 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 751,6·1000/117000 = 6,424 mm
δ = δ1 + δ2 = 11,37 mm

Cevap

δ = 11,37 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 9,462 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Cevap

Pcr = 9,462 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 35,25 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/12,5 = 140

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Cevap

σcr = 35,25 MPa
11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,02032

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/4)·ln(10/6) = 0,1277

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1277/√(39,48 + 0,01631) = 0,02032

Cevap

ζ = 0,02032
12.Mekanik titreşimler

Cevap: keq = 20 kN/m

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.

keq = 10 + 10 = 20 kN/m

Cevap

keq = 20 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design