Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
960 rpm ile çalışan 4 kW’lık bir motor 24 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 72 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %95. Dişli milindeki çıkış torku T2 değerini bulun.
P = 4 kWn1 = 960 rpmN1 = 24N2 = 72η = 95%
T2 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
960 rpm’deki 7,5 kW’lık bir motor A dişlisini (15 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (45 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (24 diş), çıkış milindeki D dişlisini (50 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %98’dır. Çıkış torku Tout değerini bulun.
P = 7,5 kWnin = 960 rpmA = 15B = 45C = 24D = 50ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.Millerin burulmasıOrta
İçi boş bir pirinç mil (dış çap 60 mm, iç çap 42 mm, uzunluk 1 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 750 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 750 N·mdo = 60 mmdi = 42 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir mil, kayma gerilmesi 80 MPa değerini aşmadan 1500 dev/dk’da 10 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.
P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 10 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = 10 MPaσy = 60 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
40 mm çaplı dolu bir mil, 2000 N·m tork ile birlikte 750 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ1 değerini bulun.
d = 40 mmM = 750 N·mT = 2000 N·m
σ1 = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 25 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 30 mm, uzunluk 300 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,2 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.
kesim 1: çelik, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.
P = 115 kNparça 1: Ø35 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 3 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 25 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 25 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
5 kg’lık bir kütle, rijitliği 4 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 110 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 5 kgk = 4 kN/mc = 110 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
10 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 30 kN/m ve k₂ = 100 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 10 kgk1 = 30 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T2 = 113,4 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/100,5 = 39,79 N·m
Çıkış torku
T2 = 39,79·72/24·0,95 = 113,4 N·m
Cevap
T2 = 113,4 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Tout = 447,8 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Çıkış hızı
nout = 960·(15/45)·(24/50) = 153,6 rpm
ωout = 2π·153,6/60 = 16,08 rad/s
Çıkış gücü ve tork
Pout = 7500·0,98² = 7203 W
Tout = Pout/ωout = 7203/16,08 = 447,8 N·m
Cevap
Tout = 447,8 N·m
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 1,14 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴
Burulma açısı
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·1000/(39000·966855) = 0,01989 rad
φ = 0,01989·180/π = 1,14°
Cevap
φ = 1,14°
4.Millerin burulması
Cevap: d = 15,94 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m
Emniyet gerilmesinden çap
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·80)) = 15,94 mm
Cevap
d = 15,94 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 47,17 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((10 − 60)/2)² + 40²) = 47,17 MPa
Cevap
τmax = 47,17 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σ1 = 229,7 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Yüzeydeki gerilmeler
σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119,4 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159,2 MPa
Mohr dairesi
C = σ/2 = 59,68 MPa
R = √(59,68² + 159,2²) = 170 MPa
σ1 = C + R = 229,7 MPa
σ2 = C − R = −110,3 MPa
Cevap
σ1 = 229,7 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: P = 21,93 kN
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²
Esneklikler
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·706,9) = 6,063 × 10⁻⁶ mm/N
Yük
P = 0,2/9,119 × 10⁻⁶ = 21933 N = 21,93 kN
Cevap
P = 21,93 kN
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σmax = 1017 MPa
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 119,5 MPa
σ2 = 1017 MPa
En büyük gerilme
İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.
σmax = 1017 MPa
Cevap
σmax = 1017 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 28,56 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 1·3000 = 3000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/3000² = 28558 N = 28,56 kN
Cevap
Pcr = 28,56 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 53,02 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 53,02 mm
Cevap
d = 53,02 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 264,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,3889
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·5) = 282,8 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 110/282,8 = 0,3889
Cevap
ζ = 0,3889
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 18,15 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 30 + 100 = 130 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(130000/10) = 114 rad/s
fn = 114/(2π) = 18,15 Hz
Cevap
fn = 18,15 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design