Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1440 rpm ile çalışan 3 kW’lık bir motor, 30 dişli ve 5 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet Ft değerini bulun.
P = 3 kWn = 1440 rpmN1 = 30m = 5 mm
Ft = N
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bileşik bir dişli dizisinde, 1500 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (60 diş) B dişlisini (72 diş) döndürüyor. C dişlisi (16 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (36 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.
nin = 1500 rpmA = 60B = 72C = 16D = 36
nout = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 750 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir mil, kayma gerilmesi 50 MPa değerini aşmadan 1000 dev/dk’da 20 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.
P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Bir noktada σₓ = −80 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 30° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σy′ değerini bulun.
σx = −80 MPaσy = 120 MPaτxy = −60 MPaθ = 30°
σy′ = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
40 mm çaplı dolu bir mil, 2000 N·m tork ile birlikte 500 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ1 değerini bulun.
d = 40 mmM = 500 N·mT = 2000 N·m
σ1 = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
bakır çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.
P = 35 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 250 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 60 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 80 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü Pmax bulun.
çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaboru: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 65 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 65 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 15 mm’lik bir yer değiştirme tepesini bir çevrim sonra 10,3 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
x0 = 15 mmx1 = 10,3 mmn = 1
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
10 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 20 kN/m ve k₂ = 60 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 10 kgk1 = 20 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Ft = 265,3 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Pinyondaki tork
ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T = P/ω = 3000/150,8 = 19,89 N·m
Bölüm dairesi çapı
d = m·N = 5·30 = 150 mm
Teğetsel kuvvet
Ft = 2T/d = 2·19,89/0,15 = 265,3 N
Cevap
Ft = 265,3 N
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nout = 555,6 rpm
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Birinci kademe
nB = 1500·60/72 = 1250 rpm = nC
İkinci kademe
nout = 1250·16/36 = 555,6 rpm
Cevap
nout = 555,6 rpm
toplam oran = 2,7 : 1
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 3,507 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(39000·251327) = 0,06121 rad
φ = 0,06121·180/π = 3,507°
Cevap
φ = 3,507°
4.Millerin burulması
Cevap: d = 26,89 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m
Emniyet gerilmesinden çap
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm
Cevap
d = 26,89 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σy′ = 122 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
y′ yüzü için dönüşüm denklemi
σy′ = 20 − (−100)·0,5 − (−60)·0,866 = 122 MPa
Kontrol
Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.
σx′ = −81,96 MPa, σx′ + σy′ = 40 = σx + σy
Cevap
σy′ = 122 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σ1 = 203,8 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Yüzeydeki gerilmeler
σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·40³) = 79,58 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159,2 MPa
Mohr dairesi
C = σ/2 = 39,79 MPa
R = √(39,79² + 159,2²) = 164,1 MPa
σ1 = C + R = 203,8 MPa
σ2 = C − R = −124,3 MPa
Cevap
σ1 = 203,8 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: ε = 609,4 µε
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 35·1000/490,9 = 71,3 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 71,3/117000 = 0,0006094 = 609,4 µε
Cevap
ε = 609,4 µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: Pmax = 515,2 kN
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
Birleşik eksenel rijitlik
ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·5027 = 6,44 × 10⁸ N
Belirleyici birim şekil değiştirme
ε = min(0,00125, 0,0008) = 0,0008 (pirinç)
En büyük yük
Pmax = 0,0008·6,44 × 10⁸ = 515221 N = 515,2 kN
Cevap
Pmax = 515,2 kN
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 78,48 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 2·2000 = 4000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78,48 kN
Cevap
Pcr = 78,48 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 49,32 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 49,32 mm
Cevap
d = 49,32 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 170,3, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,05972
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Logaritmik azalma
δ = (1/1)·ln(15/10,3) = 0,3759
Sönüm oranı
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3759/√(39,48 + 0,1413) = 0,05972
Cevap
ζ = 0,05972
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 14,24 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 20 + 60 = 80 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(80000/10) = 89,44 rad/s
fn = 89,44/(2π) = 14,24 Hz
Cevap
fn = 14,24 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design