Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 2,2 kW’lık bir motor, 16 dişli ve 5 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet F_t değerini bulun.

P = 2,2 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 5 mm

F_t = N

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

2900 rpm’deki 7,5 kW’lık bir motor A dişlisini (24 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (30 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (40 diş), çıkış milindeki D dişlisini (50 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %95’dır. Çıkış torku T_out değerini bulun.

P = 7,5 kWn_in = 2900 rpmA = 24B = 30C = 40D = 50η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 200 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,7 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 75 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 500 dev/dk’da 75 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 60 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 15° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 60 mm, uzunluk 500 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,2 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 45 kNparça 1: Ø30 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø16 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 12 kN/m olan bir yay üzerindeki 40 kg’lık bir kütlenin, 0,3 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 40 kgk = 12 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 20 kN/m, alttakinin k₂ = 5 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: F_t = 364,7 N

Dişli geometrisi: m modülü diş boyutunu belirler. N dişli bir dişlinin bölüm dairesi çapı d = m·N’dir, birbirine geçen iki dişlinin modülü aynıdır ve eksenler arası mesafeleri a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2’dir. Bölüm dairesi hızı v = π·d·n/60’tır ve teğetsel diş kuvveti torktan bulunur: F_t = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 2200/150,8 = 14,59 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 5·16 = 80 mm

Teğetsel kuvvet

F_t = 2T/d = 2·14,59/0,08 = 364,7 N

Cevap

F_t = 364,7 N

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_out = 34,83 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Çıkış hızı

n_out = 2900·(24/30)·(40/50) = 1856 rpm

ω_out = 2π·1856/60 = 194,4 rad/s

Çıkış gücü ve tork

P_out = 7500·0,95² = 6769 W

T_out = P_out/ω_out = 6769/194,4 = 34,83 N·m

Cevap

T_out = 34,83 N·m

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 26,15 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·75·0,7599)) = 26,15 mm

d_i = 0,7·26,15 = 18,3 mm

Cevap

d_o = 26,15 mm

Dolu bir mil d = 23,86 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 45,99 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·75)) = 45,99 mm

Cevap

d = 45,99 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 50,81 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 70 MPa, R = √((−10)² + (−30)²) = 31,62 MPa

σ₁ = 101,6 MPa, σ₂ = 38,38 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(63,25, 101,6, 38,38)/2 = 50,81 MPa

Cevap

τ_abs = 50,81 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = −62,14 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −55·0,5 + −40·0,866 = −62,14 MPa

Cevap

τ_θ = −62,14 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 29,54 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2,526 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,2/6,77 × 10⁻⁶ = 29540 N = 29,54 kN

Cevap

P = 29,54 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,378 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·2000/70000 = 1,819 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 223,8·500/200000 = 0,5595 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,378 mm

Cevap

δ = 2,378 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 5,426 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4000² = 5426 N = 5,426 kN

Cevap

P_cr = 5,426 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 2,429 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/15 = 533,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/533,3² = 2,429 MPa

Cevap

σ_cr = 2,429 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 2,63 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(12000/40) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,757·√(1 − 0,3²) = 2,63 Hz

Cevap

f_d = 2,63 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 4 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/5 → k_eq = 20·5/(20 + 5) = 4 kN/m

Cevap

k_eq = 4 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design