Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1500 rpm ile çalışan 11 kW’lık bir motor 50 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 60 dişli bir dişliyi kavrıyor. Kayıpları ihmal edin. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 11 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 50N₂ = 60η = 100%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1440 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (25 diş) B dişlisini (80 diş) döndürüyor. C dişlisi (25 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (40 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1440 rpmA = 25B = 80C = 25D = 40

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

2,5 m uzunluğundaki dolu bir pirinç mil 500 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 1°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 500 N·mL = 2,5 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 750 dev/dk’da 75 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = 90 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 140 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −10 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 30° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −10 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında çelik çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 45 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 120 MPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 60 mm, E = 110 GPa, izin verilen gerilme 80 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaboru: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 60 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 60 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 10 mm’lik bir yer değiştirme tepesini bir çevrim sonra 7,3 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 10 mmx₁ = 7,3 mmn = 1

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle k₃ = 50 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 60 kN/m ve k₂ = 40 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 70,03 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/157,1 = 70,03 N·m

Cevap

T₁ = 70,03 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 281,3 rpm

Birinci kademe

n_B = 1440·25/80 = 450 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 450·25/40 = 281,3 rpm

Cevap

n_out = 281,3 rpm

toplam oran = 5,12 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: d = 65,76 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·2500/(39000·0,01745) = 1,836 × 10⁶ mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 65,76 mm

Cevap

d = 65,76 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 40,18 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Cevap

d = 40,18 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 19,33 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·20, 140 − 90) = 38,66°

Elemandaki açı

θ_p = 19,33°

Cevap

θ_p = 19,33°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = −48,3 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 0 + −10·0,5 + 50·−0,866 = −48,3 MPa

Cevap

σ_θ = −48,3 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,798 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/201,1 = 223,8 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 223,8/200000 = 0,001119 = 1119 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001119·2500 mm = 2,798 mm

Cevap

δ = 2,798 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 390,7 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·5027 = 6,511 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0006, 0,0007273) = 0,0006 (çelik)

En büyük yük

P_max = 0,0006·6,511 × 10⁸ = 390657 N = 390,7 kN

Cevap

P_max = 390,7 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 4,449 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4200² = 4449 N = 4,449 kN

Cevap

P_cr = 4,449 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 61,78 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 61,78 mm

Cevap

d = 61,78 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 181,3, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,05003

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/1)·ln(10/7,3) = 0,3147

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3147/√(39,48 + 0,09904) = 0,05003

Cevap

ζ = 0,05003

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 5,812 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 60 + 40 = 100 kN/m

k_eq = 100·50/(100 + 50) = 33,33 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(33333/25) = 36,51 rad/s

f_n = 36,51/(2π) = 5,812 Hz

Cevap

f_n = 5,812 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design