Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1500 rpm ile çalışan 1,1 kW’lık bir motor 18 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 48 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %98. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 1,1 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 48η = 98%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 20 dişi ve her planet dişlisinin 20 dişi var. Çember dişli sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 900 rpm ile döndürülüyor. Planet taşıyıcısının hızı n_c değerini bulun.

N_s = 20N_p = 20n_s = 900 rpm

n_c = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 75 mm, iç çap 45 mm, uzunluk 1 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 400 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md_o = 75 mmd_i = 45 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 500 dev/dk’da 5 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 5 kWN = 500 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 60 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 70 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 40° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında çelik çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 65 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 75 kNparça 1: Ø30 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø20 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 120 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 120 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 80 kN/m olan bir yay üzerindeki 250 kg’lık bir kütlenin, 0,6 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 250 kgk = 80 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

10 kg’lık bir kütle k₃ = 15 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 60 kN/m ve k₂ = 20 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 7,003 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m

Cevap

T₁ = 7,003 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_c = 225 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·20 = 60

Çember sabitken Willis denklemi

n_r = 0 alın ve taşıyıcı hızını çözün.

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −60/20

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·20/80 = 225 rpm

Cevap

n_c = 225 rpm

Taşıyıcı güneşle aynı yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,326 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Burulma açısı

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1000/(26000·2,704 × 10⁶) = 0,00569 rad

φ = 0,00569·180/π = 0,326°

Cevap

φ = 0,326°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 8,731 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Polar atalet momenti

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·20/218755 = 8,731 MPa

Cevap

τ_max = 8,731 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = −21,14 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·−50, 60 − −50) = −42,27°

Elemandaki açı

θ_p = −21,14°

Cevap

θ_p = −21,14°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 77,92 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 20 + 50·0,1736 + 50·0,9848 = 77,92 MPa

Cevap

σ_θ = 77,92 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,437 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 65·1000/113,1 = 574,7 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 574,7/200000 = 0,002874 = 2874 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,002874·500 mm = 1,437 mm

Cevap

δ = 1,437 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,536 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 106,1 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 106,1·1000/70000 = 1,516 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238,7·500/117000 = 1,02 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,536 mm

Cevap

δ = 2,536 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 12,28 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1500² = 12282 N = 12,28 kN

Cevap

P_cr = 12,28 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 83,89 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,89 mm

Cevap

d = 83,89 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 190,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 2,278 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(80000/250) = 17,89 rad/s

f_n = 17,89/(2π) = 2,847 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,847·√(1 − 0,6²) = 2,278 Hz

Cevap

f_d = 2,278 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 5,657 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 60 + 20 = 80 kN/m

k_eq = 80·15/(80 + 15) = 12,63 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(12632/10) = 35,54 rad/s

f_n = 35,54/(2π) = 5,657 Hz

Cevap

f_n = 5,657 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design