Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1500 rpm ile çalışan 1,1 kW’lık bir motor 18 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 25 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Dişli milindeki çıkış torku T₂ değerini bulun.

P = 1,1 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 25η = 96%

T₂ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

2900 rpm’deki 1,1 kW’lık bir motor A dişlisini (18 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (32 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (15 diş), çıkış milindeki D dişlisini (60 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %97’dır. Çıkış torku T_out değerini bulun.

P = 1,1 kWn_in = 2900 rpmA = 18B = 32C = 15D = 60η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 60 mm ve uzunluğu 3 m; BC parçasının çapı 30 mm ve uzunluğu 2 m’dir. Serbest uç C’de 100 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

T = 100 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 rpm’de 75 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,7 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 40 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 75 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = −70 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 160 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

50 mm çaplı dolu bir mil, 1500 N·m tork ile birlikte 180 kN eksenel basınç kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 50 mmF = −180 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) pirinç malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 400 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,5 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 150 MPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 60 mm, E = 110 GPa, izin verilen gerilme 60 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaboru: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 65 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 65 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 10 kN/m olan bir yay üzerindeki 100 kg’lık bir kütlenin, 0,7 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 100 kgk = 10 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

100 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 60 kN/m ve k₂ = 50 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₂ = 9,337 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m

Çıkış torku

T₂ = 7,003·25/18·0,96 = 9,337 N·m

Cevap

T₂ = 9,337 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_out = 24,24 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çıkış hızı

n_out = 2900·(18/32)·(15/60) = 407,8 rpm

ω_out = 2π·407,8/60 = 42,71 rad/s

Çıkış gücü ve tork

P_out = 1100·0,97² = 1035 W

T_out = P_out/ω_out = 1035/42,71 = 24,24 N·m

Cevap

T_out = 24,24 N·m

3.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 18,86 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Her parçadaki gerilme

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·60³) = 2,358 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa

Cevap

τ_max = 18,86 MPa

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 73,68 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 2387 N·m = 2,387 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·40·0,7599)) = 73,68 mm

d_i = 0,7·73,68 = 51,58 mm

Cevap

d_o = 73,68 mm

Dolu bir mil d = 67,24 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 118,8 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((160 − −70)/2)² + 30²) = 118,8 MPa

Cevap

τ_max = 118,8 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 30,56 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = −180000/(π·50²/4) = −180000/1963 = −91,67 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61,12 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = −45,84 MPa

R = √((−45,84)² + 61,12²) = 76,39 MPa

σ₁ = C + R = 30,56 MPa

σ₂ = C − R = −122,2 MPa

Cevap

σ₁ = 30,56 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 89,7 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2,037 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,5/5,574 × 10⁻⁶ = 89703 N = 89,7 kN

Cevap

P = 89,7 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 166,2 kN

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·2199 = 3,047 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00075, 0,0005455) = 0,0005455 (bronz)

En büyük yük

P_max = 0,0005455·3,047 × 10⁸ = 166219 N = 166,2 kN

Cevap

P_max = 166,2 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 131 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/1500² = 131010 N = 131 kN

Cevap

P_cr = 131 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 57,94 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·65000 = 195000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 57,94 mm

Cevap

d = 57,94 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 96,65, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 1,137 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(10000/100) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,7²) = 1,137 Hz

Cevap

f_d = 1,137 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 5,279 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 50 = 110 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(110000/100) = 33,17 rad/s

f_n = 33,17/(2π) = 5,279 Hz

Cevap

f_n = 5,279 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design