Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1440 rpm ile çalışan 11 kW’lık bir motor 24 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 48 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %95. Motor milindeki tork T1 değerini bulun.
P = 11 kWn1 = 1440 rpmN1 = 24N2 = 48η = 95%
T1 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bileşik bir dişli dizisinde, 960 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (12 diş) B dişlisini (72 diş) döndürüyor. C dişlisi (36 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (40 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.
nin = 960 rpmA = 12B = 72C = 36D = 40
nout = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
İçi boş bir çelik mil (dış çap 50 mm, iç çap 38 mm, uzunluk 2,5 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 250 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 250 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
20 mm çaplı dolu bir alüminyum mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1 m ve B’den 3 m uzaklıktaki C’de 400 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku TA değerini bulun.
d = 20 mmT0 = 400 N·ma = 1 mb = 3 m
TA = N·m
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θp değerini −90° ile 90° arasında bulun.
σx = 50 MPaσy = 10 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
50 mm çaplı dolu bir mil, 250 N·m tork ile birlikte 1000 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ1 değerini bulun.
d = 50 mmM = 1000 N·mT = 250 N·m
σ1 = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 100 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile pirinç malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 500 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 100 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.
kesim 1: çelik, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 25 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 25 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Rijitliği 25 kN/m olan bir yay üzerindeki 200 kg’lık bir kütlenin, 0,6 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı fd değerini Hz cinsinden bulun.
m = 200 kgk = 25 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.Mekanik titreşimlerZor
40 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 15 kN/m ve k₂ = 25 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 40 kgk1 = 15 kN/mk2 = 25 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T1 = 72,95 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/150,8 = 72,95 N·m
Cevap
T1 = 72,95 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nout = 144 rpm
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Birinci kademe
nB = 960·12/72 = 160 rpm = nC
İkinci kademe
nout = 160·36/40 = 144 rpm
Cevap
nout = 144 rpm
toplam oran = 6,667 : 1
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 1,095 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
Burulma açısı
T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 2,5 m = 2500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 250000·2500/(80000·408885) = 0,01911 rad
φ = 0,01911·180/π = 1,095°
Cevap
φ = 1,095°
4.Millerin burulması
Cevap: TA = 300 N·m
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).
Denge ve uygunluk
TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·3/4 = 300 N·m
TB = 400·1/4 = 100 N·m
Cevap
TA = 300 N·m
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: θp = 13,28 °
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dairedeki açı
Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.
2θp = atan2(2·10, 50 − 10) = 26,57°
Elemandaki açı
θp = 13,28°
Cevap
θp = 13,28°
Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σ1 = 82,74 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Yüzeydeki gerilmeler
σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·50³) = 81,49 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa
Mohr dairesi
C = σ/2 = 40,74 MPa
R = √(40,74² + 10,19²) = 42 MPa
σ1 = C + R = 82,74 MPa
σ2 = C − R = −1,254 MPa
Cevap
σ1 = 82,74 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 11,37 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 100·1000/314,2 = 318,3 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 318,3/70000 = 0,004547 = 4547 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,004547·2500 mm = 11,37 mm
Cevap
δ = 11,37 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σ2 = 33,95 MPa
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Rijitlikler
k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 100000·1963/500 = 392699 N/mm
2. kesimin payı
F2 = 100000·392699/589049 = 66667 N
Gerilme
σ2 = 66667/1963 = 33,95 MPa (basınç)
Cevap
σ2 = 33,95 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 4,828 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2800² = 4828 N = 4,828 kN
Cevap
Pcr = 4,828 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 36,33 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 36,33 mm
Cevap
d = 36,33 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 165,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: fd = 1,424 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sönümsüz doğal frekans
ωn = √(25000/200) = 11,18 rad/s
fn = 11,18/(2π) = 1,779 Hz
Sönümlü doğal frekans
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,6²) = 1,424 Hz
Cevap
fd = 1,424 Hz
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 40 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 15 + 25 = 40 kN/m
Cevap
keq = 40 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design