Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

720 rpm ile dönen 160 mm’lik bir kasnak, %4 kaymayla bir kayış aracılığıyla 200 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n₂ bulun.

n₁ = 720 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 200 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 720 rpm ile dönen 120 mm’lik bir tahrik kasnağını 300 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 1200 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,3 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 500 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 120 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 300 mmC = 1200 mmμ = 0,3T₁ = 500 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir alüminyum mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 40 mm ve uzunluğu 2,5 m; BC parçasının çapı 30 mm ve uzunluğu 0,8 m’dir. Serbest uç C’de 500 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Millerin burulmasıZor

50 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 3 m uzaklıktaki B’de 1500 N·m tork, ondan 1 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 2000 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 50 mmT_B = 1500 N·mT_C = 2000 N·mAB = 3 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 120 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 300 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 120 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bakır malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 300 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,3 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 160 MPa), alüminyum malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 50 mm, E = 70 GPa, izin verilen gerilme 50 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaboru: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 75 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 75 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

20 kg’lık bir kütle, rijitliği 10 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 540 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 20 kgk = 10 kN/mc = 540 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle k₃ = 60 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 12 kN/m ve k₂ = 20 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n₂ = 553 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

720·160/200 = 576 rpm

Kaymayla

n₂ = 576·0,96 = 553 rpm

Cevap

n₂ = 553 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 1,34 kW

Sarılma açısı

θ = 2,991 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,8974 = 2,453, T₂ = 500/2,453 = 203,8 N

Güç

P = (500 − 203,8)·4,524 = 1,34 kW

Cevap

P = 1,34 kW

3.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 22,04 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momentleri

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 500000·2500/(26000·251327) = 0,1913 rad

φ_BC = 500000·800/(26000·79522) = 0,1935 rad

Toplam burulma

φ_C = 0,1913 + 0,1935 = 0,3848 rad = 22,04°

Cevap

φ_C = 22,04°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 81,49 MPa

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 1500 = 500 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|_max = 2000 N·m

τ_max = 16·2 × 10⁶/(π·50³) = 81,49 MPa

Cevap

τ_max = 81,49 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 37,98 °

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·20, 10 − 0) = 75,96°

Elemandaki açı

θ_p = 37,98°

Cevap

θ_p = 37,98°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 1,664

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 35 MPa, R = 90,14 MPa

σ₁ = 125,1 MPa, σ₂ = −55,14 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 180,3 MPa

n = 300/180,3 = 1,664

Cevap

n = 1,664

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 30,16 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,3/9,947 × 10⁻⁶ = 30159 N = 30,16 kN

Cevap

P = 30,16 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 474 kN

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5890 = 6,637 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0008, 0,0007143) = 0,0007143 (alüminyum)

En büyük yük

P_max = 0,0007143·6,637 × 10⁸ = 474044 N = 474 kN

Cevap

P_max = 474 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 3,052 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN

Cevap

P_cr = 3,052 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 86,4 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 86,4 mm

Cevap

d = 86,4 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 277,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,6037

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·20) = 894,4 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 540/894,4 = 0,6037

Cevap

ζ = 0,6037

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 10,28 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 12 + 20 = 32 kN/m

k_eq = 32·60/(32 + 60) = 20,87 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(20870/5) = 64,61 rad/s

f_n = 64,61/(2π) = 10,28 Hz

Cevap

f_n = 10,28 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design