Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

960 rpm ile çalışan 1,5 kW’lık bir motor 45 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 48 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 1,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 45N₂ = 48η = 96%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (48 diş) 1450 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (80 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (36 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 435 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi N_D olmalıdır?

n_in = 1450 rpmA = 48B = 80C = 36n_out = 435 rpm

N_D =

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 2000 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,6 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 80 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 60 MPa değerini aşmadan 750 dev/dk’da 100 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 100 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = 110 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünde 30° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 15° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 65 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 200 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 50 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaboru: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

25 kg’lık bir kütle, rijitliği 20 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 350 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 25 kgk = 20 kN/mc = 350 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

10 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 100 kN/m, alttakinin k₂ = 20 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 14,92 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/100,5 = 14,92 N·m

Cevap

T₁ = 14,92 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N_D = 72

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Ara mil hızı

n_B = n_C = 1450·48/80 = 870 rpm

D dişlisinin diş sayısı

N_D = C·n_C/n_out = 36·870/435 = 72

Cevap

N_D = 72

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 52,69 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·80·0,8704)) = 52,69 mm

d_i = 0,6·52,69 = 31,61 mm

Cevap

d_o = 52,69 mm

Dolu bir mil d = 50,31 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 47,63 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,273 × 10⁶/(π·60)) = 47,63 mm

Cevap

d = 47,63 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = 86,34 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 80 − (−30)·0,5 − (−10)·(−0,866) = 86,34 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 73,66 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = 86,34 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = 29,64 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −10·0,5 + 40·0,866 = 29,64 MPa

Cevap

τ_θ = 29,64 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 8276 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 65·1000/78,54 = 827,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 827,6/100000 = 0,008276 = 8276 µε

Cevap

ε = 8276 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 136,1 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·2199 = 3,267 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,001, 0,0004167) = 0,0004167 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0004167·3,267 × 10⁸ = 136136 N = 136,1 kN

Cevap

P_max = 136,1 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 88,83 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2000² = 88826 N = 88,83 kN

Cevap

P_cr = 88,83 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 4,318 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Cevap

σ_cr = 4,318 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,2475

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·25) = 1414 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 350/1414 = 0,2475

Cevap

ζ = 0,2475

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 6,497 Hz

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/20 → k_eq = 100·20/(100 + 20) = 16,67 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(16667/10) = 40,82 rad/s

f_n = 40,82/(2π) = 6,497 Hz

Cevap

f_n = 6,497 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design