Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1450 rpm ile çalışan 4 kW’lık bir motor 24 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 48 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %97. Dişli milindeki çıkış torku T2 değerini bulun.
P = 4 kWn1 = 1450 rpmN1 = 24N2 = 48η = 97%
T2 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 24 dişi ve her planet dişlisinin 18 dişi var. Planet taşıyıcısı sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 1800 rpm ile döndürülüyor. Çember dişlinin hızı nr değerini (büyüklük) bulun.
Ns = 24Np = 18ns = 1800 rpm
nr = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 400 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 26 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 1000 dev/dk’da 20 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.
P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = −80 MPaσy = −20 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 140 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaθ = 45°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 95 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 200 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 50 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 60 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü Pmax bulun.
çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPaboru: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 4 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 100 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 100 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 30 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 3 çevrim sonra 14,1 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
x0 = 30 mmx3 = 14,1 mmn = 3
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
25 kg’lık bir kütle k₃ = 100 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 15 kN/m ve k₂ = 50 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 25 kgk1 = 15 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T2 = 51,11 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/151,8 = 26,34 N·m
Çıkış torku
T2 = 26,34·48/24·0,97 = 51,11 N·m
Cevap
T2 = 51,11 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nr = 720 rpm
Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.
Çember dişli diş sayısı
Nr = Ns + 2·Np = 24 + 2·18 = 60
Taşıyıcı sabitken Willis denklemi
nc = 0 iken güneş dişlisi, ara dişli gibi davranan planetler aracılığıyla çemberi tahrik eder.
nr = −ns·Ns/Nr = −1800·24/60 = −720 rpm
|nr| = 720 rpm
Cevap
nr = 720 rpm
Çember güneşe ters yönde döner.
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 18,39 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(26000·38350) = 0,3209 rad
φ = 0,3209·180/π = 18,39°
Cevap
φ = 18,39°
4.Millerin burulması
Cevap: d = 23,49 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m
Emniyet gerilmesinden çap
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm
Cevap
d = 23,49 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 58,31 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((−80 − −20)/2)² + −50²) = 58,31 MPa
Cevap
τmax = 58,31 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = 110 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 80 + 60·0 + 30·1 = 110 MPa
Cevap
σθ = 110 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 4,8 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 95·1000/706,9 = 134,4 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 134,4/70000 = 0,00192 = 1920 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,00192·2500 mm = 4,8 mm
Cevap
δ = 4,8 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: Pmax = 631,5 kN
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
Birleşik eksenel rijitlik
ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·9346 = 1,263 × 10⁹ N
Belirleyici birim şekil değiştirme
ε = min(0,001, 0,0005) = 0,0005 (bakır)
En büyük yük
Pmax = 0,0005·1,263 × 10⁹ = 631460 N = 631,5 kN
Cevap
Pmax = 631,5 kN
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 26,32 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2000² = 26319 N = 26,32 kN
Cevap
Pcr = 26,32 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 82,39 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 82,39 mm
Cevap
d = 82,39 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 121,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,04002
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Logaritmik azalma
δ = (1/3)·ln(30/14,1) = 0,2517
Sönüm oranı
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2517/√(39,48 + 0,06334) = 0,04002
Cevap
ζ = 0,04002
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 6,318 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yalnızca k1 ve k2 paraleldir. Bu çift k3 ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.
k12 = 15 + 50 = 65 kN/m
keq = 65·100/(65 + 100) = 39,39 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(39394/25) = 39,7 rad/s
fn = 39,7/(2π) = 6,318 Hz
Cevap
fn = 6,318 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design