Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1450 rpm ile çalışan 4 kW’lık bir motor 32 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 80 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %97. Dişli milindeki çıkış torku T2 değerini bulun.
P = 4 kWn1 = 1450 rpmN1 = 32N2 = 80η = 97%
T2 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bileşik bir dişli dizisinde, 1450 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (15 diş) B dişlisini (16 diş) döndürüyor. C dişlisi (24 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (72 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.
nin = 1450 rpmA = 15B = 16C = 24D = 72
nout = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir alüminyum mil 500 rpm’de 75 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 40 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,75° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.
P = 75 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0,75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = −60 MPaσy = −60 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
25 mm çaplı dolu bir mil, 250 N·m tork ile birlikte 500 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
d = 25 mmM = 500 N·mT = 250 N·m
τmax = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 25 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 400 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,5 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.
kesim 1: çelik, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.
P = 65 kNparça 1: Ø30 mm, 2 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø16 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.
L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
50 kg’lık bir kütle, rijitliği 150 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 1640 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 50 kgk = 150 kN/mc = 1640 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
50 kg’lık bir kütle k₃ = 80 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 10 kN/m ve k₂ = 60 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 50 kgk1 = 10 kN/mk2 = 60 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T2 = 63,88 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/151,8 = 26,34 N·m
Çıkış torku
T2 = 26,34·80/32·0,97 = 63,88 N·m
Cevap
T2 = 63,88 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nout = 453,1 rpm
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Birinci kademe
nB = 1450·15/16 = 1359 rpm = nC
İkinci kademe
nout = 1359·24/72 = 453,1 rpm
Cevap
nout = 453,1 rpm
toplam oran = 3,2 : 1
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 4,503 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·79522) = 0,0786 rad
φ = 0,0786·180/π = 4,503°
Cevap
φ = 4,503°
4.Millerin burulması
Cevap: d = 80,92 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m
Dayanım için çap
T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm
dτ = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·40)) = 56,71 mm
Rijitlik için çap
θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·1,432 × 10⁶/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 80,92 mm
Belirleyici çap
İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.
d = max(56,71, 80,92) = 80,92 mm
Cevap
d = 80,92 mm
Burada rijitlik belirleyicidir.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 50 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((−60 − −60)/2)² + 50²) = 50 MPa
Cevap
τmax = 50 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 182,2 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Yüzeydeki gerilmeler
σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·25³) = 325,9 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa
Mohr dairesi
C = σ/2 = 163 MPa
R = √(163² + 81,49²) = 182,2 MPa
Cevap
τmax = 182,2 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: P = 46,91 kN
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²
Esneklikler
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1257) = 4,547 × 10⁻⁶ mm/N
Yük
P = 0,5/1,066 × 10⁻⁵ = 46909 N = 46,91 kN
Cevap
P = 46,91 kN
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σmax = 323,3 MPa
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 91,96 MPa
σ2 = 323,3 MPa
En büyük gerilme
İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.
σmax = 323,3 MPa
Cevap
σmax = 323,3 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 47 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/2800² = 46998 N = 47 kN
Cevap
Pcr = 47 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: σcr = 16,11 MPa
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
Atalet yarıçapı ve narinlik
A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/5 = 350
Kritik gerilme
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16,11 MPa
Cevap
σcr = 16,11 MPa
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,2994
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·50) = 5477 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 1640/5477 = 0,2994
Cevap
ζ = 0,2994
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 4,349 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yalnızca k1 ve k2 paraleldir. Bu çift k3 ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.
k12 = 10 + 60 = 70 kN/m
keq = 70·80/(70 + 80) = 37,33 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(37333/50) = 27,33 rad/s
fn = 27,33/(2π) = 4,349 Hz
Cevap
fn = 4,349 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design