Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1450 rpm ile çalışan 2,2 kW’lık bir motor, 16 dişli ve 2 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet F_t değerini bulun.

P = 2,2 kWn = 1450 rpmN₁ = 16m = 2 mm

F_t = N

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (32 diş) 1440 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (40 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (24 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 768 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi N_D olmalıdır?

n_in = 1440 rpmA = 32B = 40C = 24n_out = 768 rpm

N_D =

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 rpm’de 50 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,75 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 75 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 50 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 20 MPa, σᵧ = 110 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 20° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 55 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 200 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 50 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 80 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaboru: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 95 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 95 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

12 kg’lık bir kütle, rijitliği 20 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 390 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 12 kgk = 20 kN/mc = 390 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 40 kN/m, alttakinin k₂ = 100 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: F_t = 905,5 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 2200/151,8 = 14,49 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 2·16 = 32 mm

Teğetsel kuvvet

F_t = 2T/d = 2·14,49/0,032 = 905,5 N

Cevap

F_t = 905,5 N

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N_D = 36

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Ara mil hızı

n_B = n_C = 1440·32/40 = 1152 rpm

D dişlisinin diş sayısı

N_D = C·n_C/n_out = 24·1152/768 = 36

Cevap

N_D = 36

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 9,194 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(26000·38350) = 0,1605 rad

φ = 0,1605·180/π = 9,194°

Cevap

φ = 9,194°

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 54,07 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·75·0,6836)) = 54,07 mm

d_i = 0,75·54,07 = 40,55 mm

Cevap

d_o = 54,07 mm

Dolu bir mil d = 47,63 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 54,08 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((20 − 110)/2)² + 30²) = 54,08 MPa

Cevap

τ_max = 54,08 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = 16,55 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −−10·−0,6428 + 30·0,766 = 16,55 MPa

Cevap

τ_θ = 16,55 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 10 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 55·1000/78,54 = 700,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 700,3/70000 = 0,01 = 10004 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,01·1000 mm = 10 mm

Cevap

δ = 10 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 826,2 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·9346 = 1,033 × 10⁹ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,001, 0,0008) = 0,0008 (pirinç)

En büyük yük

P_max = 0,0008·1,033 × 10⁹ = 826239 N = 826,2 kN

Cevap

P_max = 826,2 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 70,32 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2500² = 70322 N = 70,32 kN

Cevap

P_cr = 70,32 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 60,01 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·95000 = 285000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 60,01 mm

Cevap

d = 60,01 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 140, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,398

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·12) = 979,8 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 390/979,8 = 0,398

Cevap

ζ = 0,398

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 6,015 Hz

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/100 → k_eq = 40·100/(40 + 100) = 28,57 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(28571/20) = 37,8 rad/s

f_n = 37,8/(2π) = 6,015 Hz

Cevap

f_n = 6,015 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design