Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
2900 rpm’deki 1,5 kW’lık bir motor 2 ağızlı bir sonsuz vidayı tahrik ediyor. Sonsuz vida çarkının 80 dişi var ve aktarmanın verimi %50’tür. Çark milindeki çıkış torku Tw değerini bulun.
z = 2Nw = 80n = 2900 rpmP = 1,5 kWη = 50%
Tw = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Açık bir kayış, merkezleri 1000 mm arayla duran 100 mm’lik ve 300 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.
d1 = 100 mmd2 = 300 mmC = 1000 mm
θ = °
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 200 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
20 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 3 m ve B’den 2 m uzaklıktaki C’de 100 N·m tork uygulanıyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
d = 20 mmT0 = 100 N·ma = 3 mb = 2 m
τmax = MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θp değerini −90° ile 90° arasında bulun.
σx = 50 MPaσy = −20 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 20 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 30° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 20 MPaσy = −60 MPaτxy = −50 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
alüminyum çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.
P = 85 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.
P = 100 kNparça 1: Ø35 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.
L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
500 kg’lık bir kütle, rijitliği 200 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 8000 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 500 kgk = 200 kN/mc = 8000 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
5 kg’lık bir kütle k₃ = 30 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 40 kN/m ve k₂ = 12 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 5 kgk1 = 40 kN/mk2 = 12 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Tw = 98,79 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Çark hızı
nw = n·z/Nw = 2900·2/80 = 72,5 rpm
Çıkış torku
ωw = 2π·72,5/60 = 7,592 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0,5·1500/7,592 = 98,79 N·m
Cevap
Tw = 98,79 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: θ = 168,5 °
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış açısı
asin(0,1) = 5,739°
Sarılma açısı
θ = 180 − 2·5,739 = 168,5°
Cevap
θ = 168,5°
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 0,3591 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(26000·613592) = 0,006268 rad
φ = 0,006268·180/π = 0,3591°
Cevap
φ = 0,3591°
4.Millerin burulması
Cevap: τmax = 38,2 MPa
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).
Denge ve uygunluk
TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·2/5 = 40 N·m
TB = 100·3/5 = 60 N·m
En büyük kayma gerilmesi
İki torktan büyük olanı belirleyicidir (aynı çap).
τmax = 16·60000/(π·20³) = 38,2 MPa
Cevap
τmax = 38,2 MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: θp = 14,87 °
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dairedeki açı
Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.
2θp = atan2(2·20, 50 − −20) = 29,74°
Elemandaki açı
θp = 14,87°
Cevap
θp = 14,87°
Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = −43,3 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = −20 + 40·0,5 + −50·0,866 = −43,3 MPa
Cevap
σθ = −43,3 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: ε = 3865 µε
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 85·1000/314,2 = 270,6 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 270,6/70000 = 0,003865 = 3865 µε
Cevap
ε = 3865 µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σmax = 884,2 MPa
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 103,9 MPa
σ2 = 884,2 MPa
En büyük gerilme
İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.
σmax = 884,2 MPa
Cevap
σmax = 884,2 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 2,242 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3500² = 2242 N = 2,242 kN
Cevap
Pcr = 2,242 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: σcr = 4,318 MPa
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Atalet yarıçapı ve narinlik
A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/7,5 = 400
Kritik gerilme
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa
Cevap
σcr = 4,318 MPa
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,4
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·500) = 20000 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 8000/20000 = 0,4
Cevap
ζ = 0,4
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 9,817 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yalnızca k1 ve k2 paraleldir. Bu çift k3 ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.
k12 = 40 + 12 = 52 kN/m
keq = 52·30/(52 + 30) = 19,02 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(19024/5) = 61,68 rad/s
fn = 61,68/(2π) = 9,817 Hz
Cevap
fn = 9,817 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design