Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1500 rpm ile dönen 80 mm’lik bir kasnak, %1 kaymayla bir kayış aracılığıyla 200 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n₂ bulun.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 200 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (32 diş) 1450 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (40 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (36 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 580 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi N_D olmalıdır?

n_in = 1450 rpmA = 32B = 40C = 36n_out = 580 rpm

N_D =

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 500 dev/dk’da 100 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 100 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 30 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −20 MPa, σᵧ = 50 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 275 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = −20 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 55 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 30 kNparça 1: Ø30 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø20 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 40 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 40 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 80 kN/m olan bir yay üzerindeki 40 kg’lık bir kütlenin, 0,3 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 40 kgk = 80 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

50 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 40 kN/m, alttakinin k₂ = 50 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n₂ = 594 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

1500·80/200 = 600 rpm

Kaymayla

n₂ = 600·0,99 = 594 rpm

Cevap

n₂ = 594 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N_D = 72

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Ara mil hızı

n_B = n_C = 1450·32/40 = 1160 rpm

D dişlisinin diş sayısı

N_D = C·n_C/n_out = 36·1160/580 = 72

Cevap

N_D = 72

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 5,699 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(80000·251327) = 0,09947 rad

φ = 0,09947·180/π = 5,699°

Cevap

φ = 5,699°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 11,18 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Polar atalet momenti

J = π(100⁴ − 60⁴)/32 = 8,545 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,91 × 10⁶·50/8,545 × 10⁶ = 11,18 MPa

Cevap

τ_max = 11,18 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 50,25 MPa

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((30 − 40)/2)² + 50²) = 50,25 MPa

Cevap

τ_max = 50,25 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 3,411

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 15 MPa, R = 40,31 MPa

σ₁ = 55,31 MPa, σ₂ = −25,31 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 80,62 MPa

n = 275/80,62 = 3,411

Cevap

n = 3,411

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 778,1 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/706,9 = 77,81 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 77,81/100000 = 0,0007781 = 778,1 µε

Cevap

ε = 778,1 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 95,49 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 95,49 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 95,49 MPa

Cevap

σ_max = 95,49 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,056 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/8000² = 2056 N = 2,056 kN

Cevap

P_cr = 2,056 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 60,05 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 60,05 mm

Cevap

d = 60,05 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 139,9, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 6,79 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(80000/40) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,3²) = 6,79 Hz

Cevap

f_d = 6,79 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 22,22 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/50 → k_eq = 40·50/(40 + 50) = 22,22 kN/m

Cevap

k_eq = 22,22 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design