Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

2 ağızlı bir sonsuz vida 2900 rpm ile dönüyor ve 30 dişli bir sonsuz vida çarkını tahrik ediyor. Çarkın hızı n_w değerini bulun.

z = 2N_w = 30n = 2900 rpm

n_w = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1500 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (12 diş) B dişlisini (60 diş) döndürüyor. C dişlisi (25 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (80 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1500 rpmA = 12B = 60C = 25D = 80

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 80 MPa değerini aşmadan 1450 dev/dk’da 20 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 40° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 160 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 70 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 500 mm’dir ve rijit levhalar arasında 50 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 50 kNçubuk: Ø30 mm, E = 200 GPaboru: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 95 kNparça 1: Ø35 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 100 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 100 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 20 mm’lik bir yer değiştirme tepesini bir çevrim sonra 15,6 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 20 mmx₁ = 15,6 mmn = 1

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 50 kN/m ve k₂ = 10 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_w = 193,3 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 2900·2/30 = 193,3 rpm

Cevap

n_w = 193,3 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 93,75 rpm

Birinci kademe

n_B = 1500·12/60 = 300 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 300·25/80 = 93,75 rpm

Cevap

n_out = 93,75 rpm

toplam oran = 16 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 2,85 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(80000·251327) = 0,04974 rad

φ = 0,04974·180/π = 2,85°

Cevap

φ = 2,85°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 20,32 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·131714/(π·80)) = 20,32 mm

Cevap

d = 20,32 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 14,14 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−20 − −40)/2)² + −10²) = 14,14 MPa

Cevap

τ_max = 14,14 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 95,48 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 70 + 90·0,1736 + 10·0,9848 = 95,48 MPa

Cevap

σ_θ = 95,48 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,02598 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·7461 = 9,621 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 50000·500/9,621 × 10⁸ = 0,02598 mm

Cevap

δ = 0,02598 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 3,995 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 98,74 MPa

σ₂ = 302,4 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 98,74·1000/70000 = 1,411 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 302,4·1000/117000 = 2,585 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,995 mm

Cevap

δ = 3,995 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 248,1 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1000² = 248050 N = 248,1 kN

Cevap

P_cr = 248,1 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 82,46 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·100000 = 200000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 82,46 mm

Cevap

d = 82,46 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 135,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,03951

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/1)·ln(20/15,6) = 0,2485

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2485/√(39,48 + 0,06173) = 0,03951

Cevap

ζ = 0,03951

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 60 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 10 = 60 kN/m

Cevap

k_eq = 60 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design