Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 720 rpm ile dönen 125 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 500 N, gevşek tarafta 200 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 125 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 500 NT₂ = 200 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 30 dişi ve her planet dişlisinin 12 dişi var. Planet taşıyıcısı sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 1500 rpm ile döndürülüyor. Çember dişlinin hızı n_r değerini (büyüklük) bulun.

N_s = 30N_p = 12n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir çelik mil 300 rpm’de 50 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 80 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 1° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 90 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 20° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 90 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 50 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bronz malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,3 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 200 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 70 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaboru: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 120 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 120 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 30 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 4 çevrim sonra 6,6 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 30 mmx₄ = 6,6 mmn = 4

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

100 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 40 kN/m ve k₂ = 100 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 100 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 1,414 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 4,712 m/s

Güç

P = (500 − 200)·4,712 = 1414 W = 1,414 kW

Cevap

P = 1,414 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_r = 833,3 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·12 = 54

Taşıyıcı sabitken Willis denklemi

n_c = 0 iken güneş dişlisi, ara dişli gibi davranan planetler aracılığıyla çemberi tahrik eder.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·30/54 = −833,3 rpm

|n_r| = 833,3 rpm

Cevap

n_r = 833,3 rpm

Çember güneşe ters yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 7,39 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(39000·79522) = 0,129 rad

φ = 0,129·180/π = 7,39°

Cevap

φ = 7,39°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 58,37 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Dayanım için çap

T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·80)) = 46,62 mm

Rijitlik için çap

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·1,592 × 10⁶/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 58,37 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(46,62, 58,37) = 58,37 mm

Cevap

d = 58,37 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = −68,16 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 15 − 75·0,766 − 40·0,6428 = −68,16 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 98,16 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = −68,16 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 95 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 85 + −35·0 + −10·−1 = 95 MPa

Cevap

σ_θ = 95 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 35,63 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·706,9) = 6,431 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,3/8,42 × 10⁻⁶ = 35630 N = 35,63 kN

Cevap

P = 35,63 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 740,4 kN

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·8482 = 1,269 × 10⁹ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,001, 0,0005833) = 0,0005833 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0005833·1,269 × 10⁹ = 740369 N = 740,4 kN

Cevap

P_max = 740,4 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 18,42 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1000² = 18423 N = 18,42 kN

Cevap

P_cr = 18,42 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 51,37 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 51,37 mm

Cevap

d = 51,37 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 116,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,06014

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/4)·ln(30/6,6) = 0,3785

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3785/√(39,48 + 0,1433) = 0,06014

Cevap

ζ = 0,06014

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 5,955 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 100 = 140 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(140000/100) = 37,42 rad/s

f_n = 37,42/(2π) = 5,955 Hz

Cevap

f_n = 5,955 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design