Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Güç
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi
toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Statik çökmeden
ωn = √(g/δst)
Kritik sönüm
cc = 2√(km) = 2mωn
Sönüm oranı
ζ = c/cc
Sönümlü frekans
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar
k = k1 + k2
Seri yaylar
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
N1​ = 16, m = 3 mm

960 rpm ile çalışan 7,5 kW’lık bir motor, 16 dişli ve 3 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet Ft değerini bulun.

P = 7,5 kWn = 960 rpmN1 = 16m = 3 mm
Ft = N
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
A = 32B = 72C = 36D = 40

Bileşik bir dişli dizisinde, 1450 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (32 diş) B dişlisini (72 diş) döndürüyor. C dişlisi (36 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (40 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.

nin = 1450 rpmA = 32B = 72C = 36D = 40
nout = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
T = 400 N·md = 50 mmL = 0,5 mφ = ?

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
d = 20 mmT0​ = 100 N·mACBa = 0,5 mb = 2,5 m

20 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 0,5 m ve B’den 2,5 m uzaklıktaki C’de 100 N·m tork uygulanıyor. C kesitinin dönme açısı φC değerini derece cinsinden bulun.

d = 20 mmT0 = 100 N·ma = 0,5 mb = 2,5 mG = 80 GPa
φC = °
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 20σy​ = 30MPaτxy​ = ?

Bir noktada σₓ = 20 MPa ve σᵧ = 30 MPa’dır. En büyük asal gerilme 70 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τxy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σx = 20 MPaσy = 30 MPaσ1 = 70 MPa
τxy = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
40°D = 400 mm, t = 6 mm, p = 1,5 MPap

İç çapı 400 mm ve et kalınlığı 6 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 40° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişi boyunca etkiyen kayma gerilmesinin büyüklüğü |τn| değerini bulun.

D = 400 mmt = 6 mmp = 1,5 MPaα = 40°
|τn| = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 20 mmÇelik0,5 mP = 75 kN

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 75 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
P = ?Ø40100 GPaØ100/60500 mm

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 160 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 60 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 100 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü Pmax bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPaboru: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 4 m25 × 50 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 5 md = 40 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
k = 10 kN/mζ = 0,45m = 20 kg

Rijitliği 10 kN/m olan bir yay üzerindeki 20 kg’lık bir kütlenin, 0,45 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı fd değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk = 10 kN/mζ = 0,45
fd = Hz
12.Mekanik titreşimlerZor
k1​ = 12k2​ = 40m = 10 kg

10 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 12 kN/m, alttakinin k₂ = 40 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 10 kgk1 = 12 kN/mk2 = 40 kN/m
keq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: Ft = 3108 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T = P/ω = 7500/100,5 = 74,6 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 3·16 = 48 mm

Teğetsel kuvvet

Ft = 2T/d = 2·74,6/0,048 = 3108 N

Cevap

Ft = 3108 N
2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: nout = 580 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

nB = 1450·32/72 = 644,4 rpm = nC

İkinci kademe

nout = 644,4·36/40 = 580 rpm

Cevap

nout = 580 rpm

toplam oran = 2,5 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,4789 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(39000·613592) = 0,008358 rad
φ = 0,008358·180/π = 0,4789°

Cevap

φ = 0,4789°
4.Millerin burulması

Cevap: φC = 1,9 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·2,5/3 = 83,33 N·m
TB = 100·0,5/3 = 16,67 N·m

C’nin dönmesi

AC parçasını kullanın: A’da ankastredir ve TA taşır.

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 83333·500/(80000·15708) = 0,03316 rad = 1,9°

Cevap

φC = 1,9°
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τxy = 44,72 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (20 + 30)/2 = 25 MPa
R = σ1 − C = 70 − 25 = 45 MPa
στxyCσ1​σ2​

Kayma gerilmesi

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 5²) = 44,72 MPa

Cevap

τxy = 44,72 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: |τn| = 12,31 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. İnce cidarlı silindir: çevresel gerilme σh = pr/t ve eksenel gerilme σa = pr/(2t); bunlar cidardaki asal gerilmelerdir.

Cidar gerilmeleri

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1,5·200/6 = 50 MPa
σa = pr/(2t) = 25 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σa), y’yi çevre boyunca (σh) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

|τn| = (50 − 25)·sin 40°·cos 40° = 12,31 MPa

Cevap

|τn| = 12,31 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1194 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 75·1000/314,2 = 238,7 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 238,7/200000 = 0,001194 = 1194 µε

Cevap

ε = 1194 µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: Pmax = 603,2 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5027 = 7,54 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0008, 0,001) = 0,0008 (çelik)

En büyük yük

Pmax = 0,0008·7,54 × 10⁸ = 603186 N = 603,2 kN

Cevap

Pmax = 603,2 kN
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 11,24 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2000² = 11245 N = 11,24 kN

Cevap

Pcr = 11,24 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 1,974 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/10 = 1000

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/1000² = 1,974 MPa

Cevap

σcr = 1,974 MPa
11.Mekanik titreşimler

Cevap: fd = 3,178 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ωn = √(10000/20) = 22,36 rad/s
fn = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Sönümlü doğal frekans

fd = fn·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,45²) = 3,178 Hz

Cevap

fd = 3,178 Hz
12.Mekanik titreşimler

Cevap: keq = 9,231 kN/m

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/12 + 1/40 → keq = 12·40/(12 + 40) = 9,231 kN/m

Cevap

keq = 9,231 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design