Ölçme ve Enstrümantasyon: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Bölücü gerilimleri: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Çıkarılan: V_ab = V_a − V_b
Denge: R₁/R₂ = R₃/R₄
Kayar telli köprü: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin direnci: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Gerinim ölçer çarpanı: ΔR/R = GF·ε
Köprü çıkışı: çeyrek V_s·GF·ε/4, yarım V_s·GF·ε/2, tam V_s·GF·ε
Küçük değişim, tek kol: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Gerilme: σ = E·ε

Yöntem

Köprüyü aynı kaynağa bağlı iki gerilim bölücü olarak ele alın.
Denge için R₁/R₂ = R₃/R₄ yazın ve bilinmeyen direnci çözün.
Dengesiz bir köprüde V_a ve V_b’yi bölücülerden bulup çıkarın; çıkışı bir ölçü aleti yüklüyorsa Thévenin eşdeğerini kullanın.
Gerinim ölçerlerde gerinimi ΔR/R = GF·ε’ye çevirin ve çeyrek, yarım veya tam köprü için sırasıyla V_s·GF·ε/4, /2 veya ×1 kullanın.

Veri toplama ve örnekleme

Nyquist ölçütü: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Örtüşme frekansı: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Adım büyüklüğü: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kuantalama hatası (yuvarlama): ±½ LSB
Kesen ADC kodu: D = ⌊V_in/LSB⌋
r çözünürlüğü için bit sayısı: 2ᴺ ≥ span/r
İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Veri hızı: kanal × f_s × N bit/s
Çoklayıcılı ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
Baud hızı bölücüsü: baud = f_clk/(16·D)

Yöntem

Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
Örnekleme sorularında her frekansı f_s/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, f_s’nin en yakın katıyla f_a = |f − k·f_s| frekansında görünür.
Çözünürlük sorularında 1 LSB = V_FSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.

Op-amp devreleri

Eviren yükselteç: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Evirmeyen yükselteç: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Toplayıcı yükselteç: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
İdeal op-amp: V₊ = V₋, I_in = 0

Seri ve paralel dirençler

Seri dirençler: R_eq = R₁ + R₂ + …
Paralel dirençler: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
İki paralel direnç: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohm yasası: V = I·R
Güç: P = V·I = I²R = V²/R

Yöntem

Ağın uçlardan en uzak ucundan başlayın.
Seri dirençleri toplayarak, paralel dirençleri 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … ile birleştirin.
Her adımdan sonra devreyi yeniden çizin.
Uçlar arasında tek bir direnç kalana kadar tekrarlayın.

Thévenin ve Norton

Thévenin gerilimi: V_th = V_{open circuit}
Thévenin direnci: R_th: tüm kaynaklar kapalı, a–b’den görülen
Norton akımı: I_N = V_th/R_th
Yük akımı: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksimum güç aktarımı: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Yöntem

Yükü çıkarın ve iki ucu a ve b olarak işaretleyin.
a ve b arasındaki açık devre gerilimini bulun: bu V_th’dir.
Tüm bağımsız kaynakları devre dışı bırakın ve a–b uçlarından görülen direnci bulun: bu R_th’dir.
Yükü eşdeğer devreye geri bağlayın: R_th ile seri V_th.
Norton eşdeğeri için dönüştürün: I_N = V_th/R_th, paralel R_N = R_th ile.

2Alıştırma soruları

1.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerOrta

Bir köprünün dört kolu 250 Ω’dur ve V_s = 6 V’tur. R₂ sensörü ΔR = 2 Ω artıyor. Küçük değişim yaklaşımını kullanarak çıkışı (V_ab) mV cinsinden bulun.

V_s = 6 VR = 250 ΩΔR = 2 Ω

V_ab = mV

2.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerZor

Bir çeyrek köprü (tek etkin gerinim ölçer, GF = 2,05) 10 V ile uyarılıyor. Ölçülecek en büyük gerinim 250 µε’dir ve bir analog-sayısal dönüştürücünün girişinde 2,5 V vermelidir. Yükseltici kazancını (G) bulun.

V_s = 10 VGF = 2,05ε_max = 250 µεV_FS = 2,5 V

G =

3.Veri toplama ve örneklemeOrta

Giriş aralığı 0 ile 2,5 V arasında olan 12 bitlik bir ADC keser: çıkış kodu, 1 LSB = V_FSR/2ᴺ olmak üzere ⌊V_in/LSB⌋’dir. 2,092 V’luk bir giriş için onlu sistemdeki çıkış kodunu D bulun.

N = 12V_FSR = 2,5 VV_in = 2,092 V

D =

4.Veri toplama ve örneklemeZor

16 kanallı bir çoklayıcı tek bir ADC’yi besliyor. Her dönüşüm 2 µs sürüyor ve her kanal geçişinden sonra girişin oturması için 2 µs gerekiyor. Kanallar ara vermeden sırayla taranıyor. Her kanalın örnekleme hızını f_s kHz cinsinden bulun.

n = 16t_c = 2 µst_set = 2 µs

f_s = kHz

5.Op-amp devreleriOrta

Fark yükselteci, ±15 V ile beslenen ideal bir op-amp kullanır; R₃ = R₁ ve R₄ = R₂. Eviren girişteki gerilim V₋ değerini bulun.

V₁ = 0,8 VV₂ = −0,2 VR₁ = R₃ = 10 kΩR₂ = R₄ = 100 kΩ

V₋ = V

6.Op-amp devreleriZor

İntegral alıcı, ±15 V ile beslenen ideal bir op-amp kullanır; çıkışı ±14 V’ta doyuma ulaşır. t = 0’da sabit bir V_in = −1,1 V girişi uygulandığında kondansatör yüksüzdür. t = 5 ms anında çıkış gerilimi V_out değerini bulun.

V_in = −1,1 VR = 1 kΩC = 0,47 µFV_sat = ±14 Vt = 5 ms

V_out = V

7.Seri ve paralel dirençlerOrta

V₁ kaynağının gördüğü eşdeğer direnç R_eq değerini bulun.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

8.Seri ve paralel dirençlerZor

R₂ üzerinden geçen I_R2 akımını bulun.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin ve NortonOrta

a–b uçlarından görülen Thévenin direnci R_th değerini bulun.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin ve NortonZor

a–b arasına R_L = 25 Ω yük bağlanmıştır. Thévenin eşdeğerini kullanarak yüke aktarılan P_L gücünü bulun.

V₁ = 5 VI_s = 1,5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 25 Ω

P_L = W

3Çözeltiler

1.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Cevap: V_ab = 12 mV

Wheatstone köprüsü: iki gerilim bölücü tek bir V_s kaynağını paylaşır. Soldaki R₁–R₂ bölücüsü V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), sağdaki R₃–R₄ bölücüsü V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) verir; çıkış V_ab = V_a − V_b’dir. Köprü, R₁/R₂ = R₃/R₄, yani R₁·R₄ = R₂·R₃ olduğunda dengededir (V_ab = 0, ölçü aletinden akım geçmez). Çıkıştan bakıldığında köprü, R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ olan bir Thévenin kaynağıdır.

Bağıl değişim

ΔR/R = 2/250 = 0,008

Doğrusallaştırılmış çıkış

V_ab ≈ 6·0,008/4 = 12 mV

Cevap

V_ab = 12 mV

Kesin değer 11,95 mV’tur; ΔR/R küçük olduğu sürece yaklaşım iyidir.

2.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Cevap: G = 1951

Gerinim ölçerler: bir gerinim ölçer direncini gerinimle değiştirir: ΔR/R = GF·ε; burada GF gerinim ölçer çarpanı olup metal folyo için yaklaşık 2’dir. Tüm kolları R olan bir köprüde tek etkin gerinim ölçer (çeyrek köprü) V_o ≈ V_s·GF·ε/4 verir. Bitişik kollarda zıt gerinimli iki etkin gerinim ölçer (yarım köprü) V_s·GF·ε/2, dört etkin gerinim ölçer (tam köprü) ise V_s·GF·ε verir. Gerilme, Hooke yasasından bulunur: σ = E·ε. Yük hücreleri duyarlılıklarını mV/V olarak belirtir: tam yükte, volt başına uyarma gerilimi için çıkış.

Tam ölçekte köprü çıkışı

V_o = 1,281 mV

Kazanç

G = 2,5/0,001281 = 1951

Cevap

G = 1951

3.Veri toplama ve örnekleme

Cevap: D = 3427

ADC çözünürlüğü: N bitlik bir dönüştürücü, tam ölçek aralığı V_FSR’yi 0’dan 2ᴺ − 1’e kadar 2ᴺ koda böler. Bir adım 1 LSB = V_FSR/2ᴺ’dir: dönüştürücünün gösterebildiği en küçük değişim. Kesen bir ADC ⌊V_in/LSB⌋ kodunu verir; yuvarlayan bir ADC gerçek değerden hiçbir zaman ½ LSB’den fazla uzak olmaz, bu onun kuantalama hatasıdır. Her ek bit LSB’yi yarıya indirir ve tam ölçekli bir sinüs için ideal sinyal-kuantalama gürültüsü oranına SQNR = 6,02·N + 1,76 dB yaklaşık 6 dB ekler. Bir aralık üzerinde r çözünürlüğüne ulaşmak için 2ᴺ ≥ aralık/r koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.

Adım büyüklüğü

1 LSB = 2,5/2¹² = 0,6104 mV

Kod

V_in/LSB = 2092/0,6104 = 3428

kod = ⌊3428⌋ = 3427

Cevap

D = 3427

İkili sistemde bu 110101100011’dır.

4.Veri toplama ve örnekleme

Cevap: f_s = 15,63 kHz

Veri hızları: her kanal saniyede N bitlik f_s örnek verir; ham hız kanal × f_s × N bit/s’dir. Bellekte bir örnek tam bayt yer kaplar (12 bitlik bir örnek 2 bayta kaydedilir), bu yüzden bir kayıt için bellek kanal × f_s × örnek başına bayt × süre kadardır. Çoklayıcılı bir ADC kanalları art arda dönüştürür: her dönüşüm (oturma süresiyle birlikte) t sürer, dolayısıyla n kanallık bir tur n·t sürer ve her kanal 1/(n·t) hızıyla örneklenir.

Kanal başına süre

2 + 2 = 4 µs

Tarama başına süre

16·4 = 64 µs

Kanal başına örnekleme hızı

f_s = 1/64 µs = 15,63 kHz

Cevap

f_s = 15,63 kHz

5.Op-amp devreleri

Cevap: V₋ = −0,1818 V

İdeal op-amp kuralları: negatif geri beslemeyle op-amp çıkışını iki girişi aynı gerilimde olacak şekilde sürer (V₋ = V₊) ve hiçbir girişe akım girmez. Bu iki gerçekle eviren girişte KAY yazmak çıkışı verir.

Girişlerdeki gerilim

R₃ ve R₄ aynı akımı taşır, bu yüzden bir gerilim bölücü oluşturur; geri besleme V₋ = V₊ yapar.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −0,2·100/(10 + 100) = −0,1818 V

V₋ = V₊

Cevap

V₋ = −0,1818 V

6.Op-amp devreleri

Cevap: V_out = 11,7 V

Giriş akımı ve değişim hızı

kΩ çarpı µF milisaniye verir.

RC = 1 kΩ · 0,47 µF = 0,47 ms

değişim hızı = −V_in/(RC) = −(−1,1)/0,47 = 2,34 V/ms

Verilen andaki çıkış

İdeal değer ±V_sat içindedir, bu yüzden integral alıcı henüz kırpılmamıştır.

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−1,1)·5/0,47 = 11,7 V

Cevap

V_out = 11,7 V

7.Seri ve paralel dirençler

Cevap: R_eq = 27,74 Ω

Seri ve paralel dirençler: seride her dirençten aynı akım geçer ve R = R₁ + R₂ + …. Paralelde her direncin gerilimi aynıdır ve 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Merdiven ağı, tek bir eşdeğer direnç kalana kadar çift çift indirgenir.

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynağa en uzak uçtan başlayıp ona doğru geri gelin. Aynı akımı taşıyan dirençler seri; aynı iki düğüm arasındaki dirençler paraleldir.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 15·16/(15+16) = 7,742 Ω

R_eq = R₁ + 7,742 = 20 + 7,742 = 27,74 Ω

Cevap

R_eq = 27,74 Ω

8.Seri ve paralel dirençler

Cevap: I_R2 = 3,366 A

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynağa en uzak uçtan başlayıp ona doğru geri gelin. Aynı akımı taşıyan dirençler seri; aynı iki düğüm arasındaki dirençler paraleldir.

R₅ + R₆ = 15 + 30 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 11,25 Ω

R₃ + 11,25 = 17,25 Ω

R₂ ∥ 17,25 = 1,792 Ω

R_eq = R₁ + 1,792 = 3 + 1,792 = 4,792 Ω

Kaynaktan çekilen akım

Kaynak yalnızca R_eq’yi görür; Ohm yasası verdiği akımı bulur. Bu akım R₁’den geçer.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/4,792 = 3,756 A

R₂’den geçen akım

A düğümündeki gerilimi bulmak için R₁ üzerindeki düşümü çıkarın; bu, R₂ üzerindeki gerilimdir.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 3,756·3 = 6,732 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,732/2 = 3,366 A

Cevap

I_R2 = 3,366 A

9.Thévenin ve Norton

Cevap: R_th = 7 Ω

Thévenin teoremi: her doğrusal iki uçlu ağ, R_th direncine seri tek bir V_th gerilim kaynağı gibi davranır. Norton teoremi aynı ağı R_th ile paralel I_N = V_th/R_th akım kaynağı olarak verir.

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devreyle değiştirin, sonra devreye a–b’den bakın.

R₁ ∥ R₂ = 4·12/(4+12) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 4 = 7 Ω

10.Thévenin ve Norton

Cevap: P_L = 22,7 W

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devreyle değiştirin, sonra devreye a–b’den bakın.

R₁ ∥ R₂ = 8·30/(8+30) = 6,316 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6,316 + 30 = 36,32 Ω

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun

a–b açıkken Iₛ’nin tek yolu R₃ üzerinden A düğümüne gitmektir. V_A’yı V₁ ve Iₛ’nin süperpozisyonuyla bulun, sonra R₃ üzerindeki düşümü ekleyin.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3,947 + 1,5·6,316 = 13,42 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 13,42 + 1,5·30 = 58,42 V

Yükü Thévenin eşdeğerine bağlayın

Thévenin kaynağı ve seri R_th, a–b’de özgün devreyle tamamen aynı davranır; bu yüzden yük basit bir seri çevre görür.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 58,42/(36,32 + 25) = 0,9528 A

P_L = I_L²·R_L = 0,9528²·25 = 22,7 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Ölçme ve Enstrümantasyon: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Yöntem

Veri toplama ve örnekleme

Yöntem

Op-amp devreleri

Seri ve paralel dirençler

Yöntem

Thévenin ve Norton

Yöntem

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Bağıl değişim

Doğrusallaştırılmış çıkış

Cevap

Tam ölçekte köprü çıkışı

Kazanç

Cevap

Adım büyüklüğü

Kod

Cevap

Kanal başına süre

Tarama başına süre

Kanal başına örnekleme hızı

Cevap

Girişlerdeki gerilim

Cevap

Giriş akımı ve değişim hızı

Verilen andaki çıkış

Cevap

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Cevap

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynaktan çekilen akım

R₂’den geçen akım

Cevap

Tüm kaynaklar kapalıyken Rth’yi bulun

Tüm kaynaklar kapalıyken Rth’yi bulun

Açık devre gerilimi Vth’yi bulun

Yükü Thévenin eşdeğerine bağlayın

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun