Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 55 kNd = 10 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 150 MPa), alüminyum malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 60 mm, E = 70 GPa, izin verilen gerilme 60 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaboru: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir çelik mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 60 mm ve uzunluğu 0,8 m; BC parçasının çapı 40 mm ve uzunluğu 0,8 m’dir. Serbest uç C’de 1500 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

T = 1500 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 40 mm, L₂ = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 80 MPa değerini aşmadan 1800 dev/dk’da 30 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 6 mP₁ = 65 kN @ 1 mP₂ = 40 kN @ 2,5 m

M_max = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 15 kN @ 2,5 mw = 12 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 30 MPa, basınçta 120 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük negatif eğilme momenti M_allow değerini bulun (büyüklüğünü verin).

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

25 mm çaplı dolu bir mil, 750 N·m tork ile birlikte 110 kN eksenel çekme kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 25 mmF = 110 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (çelik)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 125 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 125 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 11,97 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 55·1000/78,54 = 700,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 700,3/117000 = 0,005985 = 5985 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,005985·2000 mm = 11,97 mm

Cevap

δ = 11,97 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 303,9 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00075, 0,0008571) = 0,00075 (çelik)

En büyük yük

P_max = 0,00075·4,053 × 10⁸ = 303949 N = 303,9 kN

Cevap

P_max = 303,9 kN

3.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 4,095 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momentleri

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,5 × 10⁶·800/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,01179 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·800/(80000·251327) = 0,05968 rad

Toplam burulma

φ_C = 0,01179 + 0,05968 = 0,07147 rad = 4,095°

Cevap

φ_C = 4,095°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 21,64 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·80)) = 21,64 mm

Cevap

d = 21,64 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 96,25 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·1 + 40·2,5

R_B = 165/6 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 27,5 = 77,5 kN

Her yükün altındaki moment

Her yükün solundaki parçayı tutun.

yük altında P₁: M = R_A·1 = 77,5·1 = 77,5 kN·m

yük altında P₂: M = R_B·3,5 = 27,5·3,5 = 96,25 kN·m

En büyük değer

M_max = 96,25 kN·m (yük altında P₂)

Cevap

M_max = 96,25 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 36,56 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2,5 + 12·4·2

R_B = 133,5/4 = 33,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 33,38 = 29,63 kN

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 29,63·2,5 − 12·2,5·1,25 = 36,56 kN·m

Cevap

M_x = 36,56 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 23,61 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

gövde: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·187,5 + 3240·90)/6240 = 136,9 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 200·15³/12 + 3000·(187,5 − 136,9)² = 7,745 × 10⁶ mm⁴

gövde: 18·180³/12 + 3240·(90 − 136,9)² = 1,587 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,745 × 10⁶ + 1,587 × 10⁷ = 2,361 × 10⁷ mm⁴ = 23,61 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 23,61 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 26,98 kN·m

Ağırlık merkezi

ȳ = (6000·250 + 2880·120)/8880 = 207,8 mm

üst kenar: c = 260 − 207,8 = 52,16 mm

Alan atalet momenti

I = 300·20³/12 + 6000·42,16² + 12·240³/12 + 2880·87,84² = 4,691 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Negatif moment: üst çekmede, alt basınçtadır.

üst kenar: M = 30·4,691 × 10⁷/52,16 = 26,98 kN·m

alt kenar: M = 120·4,691 × 10⁷/207,8 = 27,08 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 26,98 kN·m (üst kenar)

Cevap

M_allow = 26,98 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = −22,5 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·−40, 40 − −40) = −45°

Elemandaki açı

θ_p = −22,5°

Cevap

θ_p = −22,5°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 381 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = 110000/(π·25²/4) = 110000/490,9 = 224,1 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·25³) = 244,5 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 112 MPa

R = √(112² + 244,5²) = 268,9 MPa

σ₁ = C + R = 381 MPa

σ₂ = C − R = −156,9 MPa

Cevap

σ₁ = 381 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 1,896 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 1,896 mm

Cevap

δ_max = 1,896 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 1,5 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,5 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 1,5 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 58,75 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/3500² = 58748 N = 58,75 kN

Cevap

P_cr = 58,75 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 128,9 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 128,9 mm

Cevap

d = 128,9 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 155,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials