Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 25 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 300 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 15 kNparça 1: Ø25 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir pirinç mil (dış çap 40 mm, iç çap 20 mm, uzunluk 1,5 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 250 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 250 N·md_o = 40 mmd_i = 20 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 40 MPa değerini aşmadan 3000 dev/dk’da 30 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kWN = 3000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

10 kN @ 1 m40 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

35 kN @ 0 m20 kN @ 6 m45 kN @ 4 m8 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

200 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 120 mm yukarıda olan 60 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 200 mmh = 200 mmd = 60 mmdelik merkezi: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 50 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmM = 50 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −30 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

50 mm çaplı dolu bir mil, 1000 N·m tork ile birlikte 500 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 50 mmM = 500 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 1 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 28 kNa = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Açıklık ortasında P tekil yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki R_B değerini bulun.

L = 5 mP = 70 kN @ 2,5 m

R_B = kN

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 20 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 39,95 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1963) = 2,183 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,25/6,257 × 10⁻⁶ = 39955 N = 39,95 kN

Cevap

P = 39,95 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,6885 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 30,56 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 30,56·500/200000 = 0,07639 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·1500/117000 = 0,6121 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,6885 mm

Cevap

δ = 0,6885 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 2,338 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Burulma açısı

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1500/(39000·235619) = 0,04081 rad

φ = 0,04081·180/π = 2,338°

Cevap

φ = 2,338°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 22,99 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·40)) = 22,99 mm

Cevap

d = 22,99 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 21,67 kN, R₂ = 28,33 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 21,67, M_C = 33,33, M_D = 45, M_E = 56,67 kN·m, M_F = 28,33, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = 56,67 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 1 m)

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 66 kN, R₂ = 66 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −35 kN·m, M_C = −8, M_D = 11, M_E = 22, M_F = −20, M_G = 0

Cevap

İşaret B: M_B = −35 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 131,5 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (40000·100 − 2827·120)/(40000 − 2827) = 98,48 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·200³/12 + 40000·1,521² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·60⁴/64 + 2827·21,52² = 1,946 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 131,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 131,5 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 194 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

gövde: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·165 + 2560·80)/4560 = 117,3 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 200·10³/12 + 2000·(165 − 117,3)² = 4,571 × 10⁶ mm⁴

gövde: 16·160³/12 + 2560·(80 − 117,3)² = 9,019 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,571 × 10⁶ + 9,019 × 10⁶ = 1,359 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 170 − 117,3 = 52,72 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·52,72/1,359 × 10⁷ = 194 MPa

Cevap

σ_üst = 194 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 50,99 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−30 − 70)/2)² + 10²) = 50,99 MPa

Cevap

τ_max = 50,99 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 65,92 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·50³) = 40,74 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·50³) = 40,74 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 20,37 MPa

R = √(20,37² + 40,74²) = 45,55 MPa

σ₁ = C + R = 65,92 MPa

σ₂ = C − R = −25,18 MPa

Cevap

σ₁ = 65,92 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 13,04 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 28000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 28000·1000²·3000²/(3·1,61 × 10¹²·4000) = 13,04 mm

Cevap

δ_P = 13,04 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: R_B = 21,88 kN

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·70/16 = 21,88 kN

Cevap

R_B = 21,88 kN

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 11,79 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/5000² = 11791 N = 11,79 kN

Cevap

P_cr = 11,79 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 80,72 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 80,72 mm

Cevap

d = 80,72 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 297,3, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials