Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 12 mmBakır1,5 mP = 25 kN

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 25 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 40 mmPirinç2 mØ 16 mmÇelik1 mP = 45 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 45 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Millerin burulmasıOrta
T = 750 N·md = 40 mmL = 0,5 mφ = ?

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 750 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
d = 25 mmT0​ = 1500 N·mACBa = 1,5 mb = 0,5 m

25 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1,5 m ve B’den 0,5 m uzaklıktaki C’de 1500 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku TA değerini bulun.

d = 25 mmT0 = 1500 N·ma = 1,5 mb = 0,5 m
TA = N·m
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
P1​ = 30 kNP2​ = 25 kNABC3 m2 m2 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P1 tekil yükünü ve C’de P2 tekil yükünü taşır. P1 yükünün altındaki eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 7 mP1 = 30 kN @ 3 mP2 = 25 kN @ 7 mmesnetler x = 0 ve x = 5 m konumlarında
Mx = kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 4 kN/mAB2 m2 m1 m

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. A’dan eğilme momentinin en büyük olduğu kesite olan uzaklık x0 değerini bulun.

L = 5 mw = 4 kN/m, 2 ile 4 m arasında
x0 = m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
120 mm240 mm156 mmØ40xIx​ = ?

120 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 156 mm yukarıda olan 40 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mmdelik merkezi: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
1203401610xM = 60 kN·mboyutlar mm cinsinden

Simetrik bir I kesitin başlıkları 120 mm genişliğinde ve 16 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 340 mm ve gövdesi 10 mm kalınlığındadır. x eksenine göre 60 kN·m eğilme momenti taşır. Kesitteki en büyük eğilme gerilmesinin büyüklüğü σmax değerini bulun.

B = 120 mmH = 340 mmtf = 16 mmtw = 10 mmM = 60 kN·m
σmax = MPa
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = −30σy​ = −60τxy​ = −50MPa

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa, σz = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τabs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σx = −30 MPaσy = −60 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​τxy​milin yüzeyi

50 mm çaplı dolu bir mil, 1500 N·m tork ile birlikte 90 kN eksenel çekme kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

d = 50 mmF = 90 kNT = 1500 N·m
τmax = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
P = 27 kNABδ3 m2 m

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 3 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δP değerini bulun.

P = 27 kNa = 3 mL = 5 mE = 200 GPa (çelik)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 2,5 kN/mABδ6 m

125 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/360 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği hreq değerini bulun.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 125 mm
hreq = mm
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 6 md = 40 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
PL = 1,5 md = 40 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,834 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 221/117000 = 0,001889 = 1889 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001889·1500 mm = 2,834 mm

Cevap

δ = 2,834 mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,835 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 35,81 MPa
σ2 = 223,8 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ1 = σ1L1/E1 = 35,81·2000/100000 = 0,7162 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 223,8·1000/200000 = 1,119 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,835 mm

Cevap

δ = 1,835 mm
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 3,288 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·251327) = 0,05739 rad
φ = 0,05739·180/π = 3,288°

Cevap

φ = 3,288°
4.Millerin burulması

Cevap: TA = 375 N·m

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·0,5/2 = 375 N·m
TB = 1500·1,5/2 = 1125 N·m

Cevap

TA = 375 N·m
5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 6 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣMA = 0: RB·5 = 30·3 + 25·7
RB = 265/5 = 53 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 53 = 2 kN

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Mx = RA·3 = 2·3 = 6 kN·m

Cevap

Mx = 6 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: x0 = 2,8 m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 4·2·3
RB = 24/5 = 4,8 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 4,8 = 3,2 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti RA ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 3,2/4 = 2,8 m

Cevap

x0 = 2,8 m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 136,4 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (28800·120 − 1257·156)/(28800 − 1257) = 118,4 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·240³/12 + 28800·1,642² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·40⁴/64 + 1257·37,64² = 1,906 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 136,4 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 136,4 × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σmax = 81,46 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − tw) genişliğinde ve hw = H − 2tf yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

hw = 340 − 2·16 = 308 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (120·340³ − 110·308³)/12
Ix = 1,252 × 10⁸ mm⁴

Eğilme gerilmesi

y = 170 mm
σ = M·y/I = 6 × 10⁷·170/1,252 × 10⁸ = 81,46 MPa

Cevap

σmax = 81,46 MPa
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τabs = 52,2 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σmax − σmin)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

στxyCσ1​σ2​

Düzlem içi asal gerilmeler

C = −45 MPa, R = √(15² + (−50)²) = 52,2 MPa
σ1 = 7,202 MPa, σ2 = −97,2 MPa, σz = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(104,4, 7,202, 97,2)/2 = 52,2 MPa

Cevap

τabs = 52,2 MPa

Burada σ₁ ve σ₂ zıt işaretlidir, bu yüzden düzlem içi en büyük değer R aynı zamanda mutlak en büyük değerdir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τmax = 65,27 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = 90000/(π·50²/4) = 90000/1963 = 45,84 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61,12 MPa
στxyCτmax​

Mohr dairesi

C = σ/2 = 22,92 MPa
R = √(22,92² + 61,12²) = 65,27 MPa

Cevap

τmax = 65,27 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δP = 38,12 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 27000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δP = Pa²b²/(3EIL) = 27000·3000²·2000²/(3·1,7 × 10¹²·5000) = 38,12 mm

Cevap

δP = 38,12 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: hreq = 280,6 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Gereken atalet momenti

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·16,67) = 2,301 × 10⁸ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,301 × 10⁸/125)1/3 = 280,6 mm

Cevap

hreq = 280,6 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 2,412 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2,412 kN

Cevap

Pcr = 2,412 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 62,66 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/10 = 105

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa

Cevap

σcr = 62,66 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials