Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
300 kNØ3070 GPaØ100/50600 mmδ = ?

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa), alüminyum malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 50 mm, E = 70 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 600 mm’dir ve rijit levhalar arasında 300 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 300 kNçubuk: Ø30 mm, E = 200 GPaboru: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 30 mmAlüminyum2 mØ 20 mmAlüminyum1,5 mP = 120 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 120 kNparça 1: Ø30 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Millerin burulmasıOrta
T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
d = ?50 kW, 1500 rpm

Dolu bir alüminyum mil 1500 rpm’de 50 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 80 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 1° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 50 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
M0​ = 20 kN·mAB4 m4 m

Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 4 m uzaklıkta saat yönünde M0 = 20 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen sağındaki eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mM0 = 20 kN·m saat yönünde, konumu 4 m
Mx = kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
5 kN/m25 kN35 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

25 kN @ 0 m35 kN @ 6 m60 kN @ 3 m5 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
B = 120H = 175t = 10xboyutlar mm cinsinden

İçi boş dikdörtgen (kutu) bir kesitin dış genişliği B = 120 mm, dış yüksekliği H = 175 mm ve düzgün et kalınlığı t = 10 mm’tir. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

B = 120 mmH = 175 mmt = 10 mm
r = mm
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
120 mm150 mm60 mm80 × 50xIx​ = ?

120 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, 80 mm genişliğinde ve 50 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 60 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 120 mmh = 150 mmkesik: 80 × 50 mmdelik merkezi: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 110τxy​ = 40MPa

Bir noktada σₓ = 110 MPa, σᵧ = 0 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 25° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σy′ değerini bulun.

σx = 110 MPaσy = 0 MPaτxy = 40 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​τxy​milin yüzeyi

50 mm çaplı dolu bir mil, 500 N·m tork ile birlikte 90 kN eksenel basınç kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ1 değerini bulun.

d = 50 mmF = −90 kNT = 500 N·m
σ1 = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
w = 4 kN/mδL = 6 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 8 kN/mP = 18 kNδL = 2,5 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δmax değerini bulun.

P = 18 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 md = 20 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
PL = 2,5 md = 50 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,3251 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·5890 = 5,537 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 300000·600/5,537 × 10⁸ = 0,3251 mm

Cevap

δ = 0,3251 mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 13,04 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 169,8 MPa
σ2 = 382 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ1 = σ1L1/E1 = 169,8·2000/70000 = 4,85 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 382·1500/70000 = 8,185 mm
δ = δ1 + δ2 = 13,04 mm

Cevap

δ = 13,04 mm
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 11,69 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(39000·251327) = 0,204 rad
φ = 0,204·180/π = 11,69°

Cevap

φ = 11,69°
4.Millerin burulması

Cevap: d = 51,7 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Dayanım için çap

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm
dτ = ∛(16·318310/(π·80)) = 27,26 mm

Rijitlik için çap

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·318310/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 51,7 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(27,26, 51,7) = 51,7 mm

Cevap

d = 51,7 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 10 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.

Mesnet tepkileri

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: RB·L − M0 = 0. Düşey denge: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 20/8 = 2,5 kN (yukarı)
RA = −RB = −2,5 kN (aşağı)

Kuvvet çiftinin hemen sağından kesin

Sol parça artık RA’yı ve kuvvet çiftini içerir.

Mx = RA·a + M0 = −2,5·4 + 20 = 10 kN·m

Cevap

Mx = 10 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 3 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 62,5 kN, R2 = 77,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = −25, MC = 10, MD = 40 kN·m, ME = 5, MF = −35, MG = 0

Cevap

İşaret D: MD = 40 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 64,05 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = Ic + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

b = 100 mm, h = 155 mm
A = BH − bh = 120·175 − 100·155 = 5500 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 2,256 × 10⁷ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(2,256 × 10⁷/5500) = 64,05 mm

Cevap

r = 64,05 mm
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 31,76 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (18000·75 − 4000·60)/(18000 − 4000) = 79,29 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·150³/12 + 18000·−4,286² = 34,08 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

80·50³/12 + 4000·−19,29² = 2,321 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 31,76 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 31,76 × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σy′ = −11 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σy′ = 55 − 55·0,6428 − 40·0,766 = −11 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σx′ = 121 MPa, σx′ + σy′ = 110 = σx + σy

Cevap

σy′ = −11 MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ1 = 7,745 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = −90000/(π·50²/4) = −90000/1963 = −45,84 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa
στxyCσ1​σ2​

Mohr dairesi

C = σ/2 = −22,92 MPa
R = √((−22,92)² + 20,37²) = 30,66 MPa
σ1 = C + R = 7,745 MPa
σ2 = C − R = −53,58 MPa

Cevap

σ1 = 7,745 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 51,14 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 51,14 mm

Cevap

δmax = 51,14 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 15,83 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 18000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(48EI) = 18000·2500³/(48·6,27 × 10¹¹) = 9,345 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 6,49 mm

Toplayın

δmax = 9,345 + 6,49 = 15,83 mm

Cevap

δmax = 15,83 mm
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 6,89 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6,89 kN

Cevap

Pcr = 6,89 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 17,27 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/12,5 = 200

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Cevap

σcr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials