Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 115 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 55 kNparça 1: Ø35 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1500 dev/dk’da 75 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 75 kWN = 1500 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

10 kN @ 5 m35 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

45 kN @ 0 m40 kN @ 12 m8 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 140 × 12 mm üst başlığı, 250 mm yüksekliğinde ve 16 mm kalınlığında gövdesi ve 230 × 14 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 140 × 12 mmgövde: 16 × 250 mmalt başlık: 230 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 90 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 400 mm ve et kalınlığı 15 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 3 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 40° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişi boyunca etkiyen kayma gerilmesinin büyüklüğü |τ_n| değerini bulun.

D = 400 mmt = 15 mmp = 3 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 2,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 10 kNa = 2,5 mL = 8 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

50 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/360 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 50 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 15,25 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1017/100000 = 0,01017 = 10168 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,01017·1500 mm = 15,25 mm

Cevap

δ = 15,25 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 5,574 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 57,17 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 57,17·2000/200000 = 0,5717 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 175,1·2000/70000 = 5,002 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,574 mm

Cevap

δ = 5,574 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,7124 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(80000·251327) = 0,01243 rad

φ = 0,01243·180/π = 0,7124°

Cevap

φ = 0,7124°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 8,044 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Polar atalet momenti

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2,374 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·40/2,374 × 10⁶ = 8,044 MPa

Cevap

τ_max = 8,044 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 3 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 19,17 kN, R₂ = 25,83 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 19,17, M_C = 38,33, M_D = 57,5 kN·m, M_E = 41,67, M_F = 25,83, M_G = 0

Cevap

İşaret D: M_D = 57,5 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 2 m)

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 78,25 kN, R₂ = 70,75 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −90 kN·m, M_C = −39,5, M_D = −21, M_E = −34,5, M_F = −80, M_G = 0

Cevap

İşaret B: M_B = −90 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 99,04 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

gövde: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·295 + 5600·140)/10400 = 211,5 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 160·30³/12 + 4800·(295 − 211,5)² = 3,38 × 10⁷ mm⁴

gövde: 20·280³/12 + 5600·(140 − 211,5)² = 6,525 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,38 × 10⁷ + 6,525 × 10⁷ = 9,904 × 10⁷ mm⁴ = 99,04 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 99,04 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 101,1 × 10⁶ mm⁴

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 1680 mm², y = 270 mm

gövde: A = 4000 mm², y = 139 mm

alt başlık: A = 3220 mm², y = 7 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1680·270 + 4000·139 + 3220·7)/8900 = 116 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 140·12³/12 + 1680·154² = 3,988 × 10⁷ mm⁴

gövde: 16·250³/12 + 4000·23,03² = 2,295 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 230·14³/12 + 3220·109² = 3,829 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,988 × 10⁷ + 2,295 × 10⁷ + 3,829 × 10⁷

I_x = 1,011 × 10⁸ mm⁴ = 101,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 101,1 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 46,51 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 75 MPa, R = √((−15)² + (−10)²) = 18,03 MPa

σ₁ = 93,03 MPa, σ₂ = 56,97 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(36,06, 93,03, 56,97)/2 = 46,51 MPa

Cevap

τ_abs = 46,51 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: |τ_n| = 9,848 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. İnce cidarlı silindir: çevresel gerilme σ_h = pr/t ve eksenel gerilme σ_a = pr/(2t); bunlar cidardaki asal gerilmelerdir.

Cidar gerilmeleri

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 3·200/15 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

|τ_n| = (40 − 20)·sin 40°·cos 40° = 9,848 MPa

Cevap

|τ_n| = 9,848 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 7,034 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 10000 N, a = 2500 mm, b = 5500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 10000·2500²·5500²/(3·1,12 × 10¹³·8000) = 7,034 mm

Cevap

δ_P = 7,034 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 176,8 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,301 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·2,301 × 10⁷/50)^1/3 = 176,8 mm

Cevap

h_req = 176,8 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 160,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/700² = 160173 N = 160,2 kN

Cevap

P_cr = 160,2 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 6,94 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Cevap

σ_cr = 6,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials