Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 300 mm’dir ve rijit levhalar arasında 300 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 300 kNçubuk: Ø20 mm, E = 200 GPaboru: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 150 MPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 60 mm, E = 110 GPa, izin verilen gerilme 80 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaboru: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir pirinç mil (dış çap 50 mm, iç çap 38 mm, uzunluk 1 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 1500 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1500 N·md_o = 50 mmd_i = 38 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir çelik mil 1500 rpm’de 30 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 50 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,5° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

50 kN @ 2 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

15 kN @ 12 m55 kN @ 2 m12 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

120 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, 40 mm genişliğinde ve 20 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 97,5 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 120 mmh = 150 mmkesik: 40 × 20 mmdelik merkezi: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 30 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 35° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 30 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 500 mm ve et kalınlığı 5 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 2,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 40° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişi boyunca etkiyen kayma gerilmesinin büyüklüğü |τ_n| değerini bulun.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 26 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (çelik)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 115 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 115 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,08328 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·8482 = 1,081 × 10⁹ N

Kısalma

δ = 300000·300/1,081 × 10⁹ = 0,08328 mm

Cevap

δ = 0,08328 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 781,4 kN

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·8482 = 1,074 × 10⁹ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00075, 0,0007273) = 0,0007273 (bronz)

En büyük yük

P_max = 0,0007273·1,074 × 10⁹ = 781400 N = 781,4 kN

Cevap

P_max = 781,4 kN

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 5,39 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Burulma açısı

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·1000/(39000·408885) = 0,09406 rad

φ = 0,09406·180/π = 5,39°

Cevap

φ = 5,39°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 40,86 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Dayanım için çap

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 40,86 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(26,89, 40,86) = 40,86 mm

Cevap

d = 40,86 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 81,67 kN, R₂ = 28,33 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 163,3, M_C = 226,7 kN·m, M_D = 170, M_E = 113,3, M_F = 56,67, M_G = 0

Cevap

İşaret C: M_C = 226,7 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 4 m)

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 101 kN, R₂ = 89 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 178, M_C = 198 kN·m, M_D = 170, M_E = 94, M_F = −30, M_G = 0

Cevap

İşaret C: M_C = 198 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 26,38 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

gövde: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·227,5 + 3080·110)/4580 = 148,5 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 100·15³/12 + 1500·(227,5 − 148,5)² = 9,394 × 10⁶ mm⁴

gövde: 14·220³/12 + 3080·(110 − 148,5)² = 1,698 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,394 × 10⁶ + 1,698 × 10⁷ = 2,638 × 10⁷ mm⁴ = 26,38 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 26,38 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 33,3 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (18000·75 − 800·97,5)/(18000 − 800) = 73,95 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·150³/12 + 18000·1,047² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

40·20³/12 + 800·23,55² = 0,4702 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 33,3 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 33,3 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = −47,85 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 0 − 30·0,342 − 40·0,9397 = −47,85 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 47,85 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 0 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = −47,85 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: |τ_n| = 30,78 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2,5·250/5 = 125 MPa

σ_a = pr/(2t) = 62,5 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

|τ_n| = (125 − 62,5)·sin 40°·cos 40° = 30,78 MPa

Cevap

|τ_n| = 30,78 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 31,06 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 31,06 mm

Cevap

δ_max = 31,06 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 3,496 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 26000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·3000³/(48·7,2 × 10¹²) = 2,031 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 1,465 mm

Toplayın

δ_max = 2,031 + 1,465 = 3,496 mm

Cevap

δ_max = 3,496 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 21,7 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21,7 kN

Cevap

P_cr = 21,7 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 51,92 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·115000 = 230000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 51,92 mm

Cevap

d = 51,92 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 134,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials