Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 75 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 35 kNparça 1: Ø35 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir pirinç mil 750 rpm’de 20 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 80 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,5° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 12 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 5 mP = 50 kN @ 2,5 mw = 2 kN/m, 0 ile 5 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

120 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 90 mm yukarıda olan 50 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 120 mmh = 300 mmd = 50 mmdelik merkezi: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 10 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmM = 10 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 35° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 160 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

50 mm çaplı dolu bir mil, 1500 N·m tork ile birlikte 1500 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 50 mmM = 1500 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 8 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş B mesnedinden b = 2 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Kirişin en büyük sehimi δ_max değerini bulun.

P = 7 kNb = 2 mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 105 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 105 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1061 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/706,9 = 106,1 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 106,1/100000 = 0,001061 = 1061 µε

Cevap

ε = 1061 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,067 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 36,38 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 36,38·1000/70000 = 0,5197 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 309,5·1000/200000 = 1,547 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,067 mm

Cevap

δ = 2,067 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 3,695 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(39000·79522) = 0,06449 rad

φ = 0,06449·180/π = 3,695°

Cevap

φ = 3,695°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 52,54 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Dayanım için çap

T = 254,6 N·m = 254648 N·mm

d_τ = ∛(16·254648/(π·80)) = 25,31 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·254648/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 52,54 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(25,31, 52,54) = 52,54 mm

Cevap

d = 52,54 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 150 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

x = 5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 60·5 − 12·5·2,5 = 150 kN·m

Cevap

M_x = 150 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 68,75 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2,5 + 2·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

V = 0 nerede?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 25 kN

V(2,5⁺) = 25 − 50 = −25 kN

Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 30·2,5 − 2·2,5²/2 = 68,75 kN·m

Cevap

M_max = 68,75 kN·m

A’dan x = 2,5 m uzaklıkta oluşur.

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 262,2 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·150 − 1963·90)/(36000 − 1963) = 153,5 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·300³/12 + 36000·−3,461² = 270,4 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·50⁴/64 + 1963·−63,46² = 8,214 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 262,2 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 262,2 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 19,89 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

gövde: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·310 + 3000·150)/5000 = 214 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 100·20³/12 + 2000·(310 − 214)² = 1,85 × 10⁷ mm⁴

gövde: 10·300³/12 + 3000·(150 − 214)² = 3,479 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,85 × 10⁷ + 3,479 × 10⁷ = 5,329 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 320 − 214 = 106 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·106/5,329 × 10⁷ = 19,89 MPa

Cevap

σ_üst = 19,89 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = 27,15 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 40 − 120·0,342 − (−30)·0,9397 = 27,15 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 52,85 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 80 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = 27,15 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 147,5 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·50³) = 122,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61,12 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 61,12 MPa

R = √(61,12² + 61,12²) = 86,43 MPa

σ₁ = C + R = 147,5 MPa

σ₂ = C − R = −25,31 MPa

Cevap

σ₁ = 147,5 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 49,52 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 8000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(3EI) = 8000·4000³/(3·1,12 × 10¹³) = 15,24 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·4000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 34,29 mm

Toplayın

δ = 15,24 + 34,29 = 49,52 mm

Cevap

δ = 49,52 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 3,106 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 7000 N, b = 2000 mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

En büyük değerin konumu

Uzun parçadaki eğimi sıfıra eşitlemek konumu verir.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 2000²)/3) = 4472 mm

En büyük sehim

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 3,106 mm

Cevap

δ_max = 3,106 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 21,7 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21,7 kN

Cevap

P_cr = 21,7 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 74,59 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·105000 = 262500 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 74,59 mm

Cevap

d = 74,59 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 107,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials