Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
P = ?12500 mm400 mmØ20Ø40δ = 0,5 mm

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bronz malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 400 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,5 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 30 mmBakır0,5 mØ 16 mmPirinç1,5 mP = 30 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 30 kNparça 1: Ø30 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Millerin burulmasıOrta
T = 200 N·md = 30 mmL = 0,5 mφ = ?

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Tdo​ = 50 mm, di​ = 38 mm

İçi boş bir mil 1800 dev/dk’da 30 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

P = 30 kWN = 1800 rpmdo = 50 mmdi = 38 mm
τmax = MPa
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
P1​ = 40 kNP2​ = 35 kNABC2,5 m1,5 m1,5 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1,5 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P1 tekil yükünü ve C’de P2 tekil yükünü taşır. B mesnedinin hemen solundaki kesme kuvveti Vx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5,5 mP1 = 40 kN @ 2,5 mP2 = 35 kN @ 5,5 mmesnetler x = 0 ve x = 4 m konumlarında
Vx = kN
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
12 kN/m25 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

25 kN @ 6 m50 kN @ 1 m12 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
xD = 240d = 232boyutlar mm cinsinden

Dairesel bir borunun dış çapı D = 240 mm ve iç çapı d = 232 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 240 mmd = 232 mm
r = mm
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
150 mm200 mm130 mm30 × 30xIx​ = ?

150 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, 30 mm genişliğinde ve 30 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 130 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 150 mmh = 200 mmkesik: 30 × 30 mmdelik merkezi: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 0σy​ = 120τxy​ = −20MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

σx = 0 MPaσy = 120 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​τxy​milin yüzeyi

20 mm çaplı dolu bir mil, 200 N·m tork ile birlikte 80 kN eksenel basınç kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

d = 20 mmF = −80 kNT = 200 N·m
τmax = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
w = 8 kN/mδL = 5 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 2,5 kN/mABδ6 m

100 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/250 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği hreq değerini bulun.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 100 mm
hreq = mm
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 md = 80 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
P = 25 kNL = 1 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 25 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 25 kNn = 2,5L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 46,08 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1257) = 2,894 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,5/1,085 × 10⁻⁵ = 46077 N = 46,08 kN

Cevap

P = 46,08 kN
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,419 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 42,44 MPa
σ2 = 149,2 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ1 = σ1L1/E1 = 42,44·500/117000 = 0,1814 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 149,2·1500/100000 = 2,238 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,419 mm

Cevap

δ = 2,419 mm
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,847 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(39000·79522) = 0,03224 rad
φ = 0,03224·180/π = 1,847°

Cevap

φ = 1,847°
4.Millerin burulması

Cevap: τmax = 9,731 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τmax = T·(do/2)/J = 159155·25/408885 = 9,731 MPa

Cevap

τmax = 9,731 MPa
5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Vx = −38,13 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣMA = 0: RB·4 = 40·2,5 + 35·5,5
RB = 292,5/4 = 73,13 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 73,13 = 1,875 kN

B’nin hemen solundan kesin ve sol parçayı tutun

Vx = RA − P1 = 1,875 − 40 = −38,13 kN

Cevap

Vx = −38,13 kN
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 49 kN, R2 = 74 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 43, MC = 24, MD = −7, ME = −50 kN·m, MF = −25, MG = 0

Cevap

İşaret E: ME = −50 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 83,45 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = Ic + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 2966 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,065 × 10⁷ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(2,065 × 10⁷/2966) = 83,45 mm

Cevap

r = 83,45 mm
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 99,1 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (30000·100 − 900·130)/(30000 − 900) = 99,07 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·200³/12 + 30000·0,9278² = 100 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

30·30³/12 + 900·30,93² = 0,9284 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 99,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 99,1 × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τmax = 63,25 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

στxyCτmax​

Mohr dairesinin yarıçapı

τmax = R = √(((0 − 120)/2)² + −20²) = 63,25 MPa

Cevap

τmax = 63,25 MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τmax = 180,1 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = −80000/(π·20²/4) = −80000/314,2 = −254,6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·20³) = 127,3 MPa
στxyCτmax​

Mohr dairesi

C = σ/2 = −127,3 MPa
R = √((−127,3)² + 127,3²) = 180,1 MPa

Cevap

τmax = 180,1 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 77,5 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 77,5 mm

Cevap

δmax = 77,5 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: hreq = 267,7 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δallow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Gereken atalet momenti

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·24) = 1,598 × 10⁸ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,598 × 10⁸/100)1/3 = 267,7 mm

Cevap

hreq = 267,7 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 900 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2100² = 899955 N = 900 kN

Cevap

Pcr = 900 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: d = 30,83 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N
KL = 0,7·1000 = 700 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·700²/(π³·70000))^(1/4) = 30,83 mm

Cevap

d = 30,83 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 90,83, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials