Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 30 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,2 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 120 MPa), alüminyum malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 70 mm, E = 70 GPa, izin verilen gerilme 100 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaboru: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 20 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 3000 dev/dk’da 100 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 100 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 7 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti V_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mw = 4 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 7 m

V_x = kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 1 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mP = 40 kN @ 5 mw = 12 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 1 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 140 × 20 mm üst başlığı, 220 mm yüksekliğinde ve 8 mm kalınlığında gövdesi ve 260 × 10 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 140 × 20 mmgövde: 8 × 220 mmalt başlık: 260 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −40 MPa ve σᵧ = 30 MPa’dır. En büyük asal gerilme 75 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = −40 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 75 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 25° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 1 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 20 kNa = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Ankastre uçtaki eğilme momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

L = 6 mw = 15 kN/m

M_A = kN·m

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 35,5 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,2/5,634 × 10⁻⁶ = 35501 N = 35,5 kN

Cevap

P = 35,5 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 253,1 kN

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·4006 = 4,218 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0006, 0,001429) = 0,0006 (çelik)

En büyük yük

P_max = 0,0006·4,218 × 10⁸ = 253055 N = 253,1 kN

Cevap

P_max = 253,1 kN

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 21,89 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·15708) = 0,382 rad

φ = 0,382·180/π = 21,89°

Cevap

φ = 21,89°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 27,86 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27,86 mm

Cevap

d = 27,86 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: V_x = −12 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

x = 7 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = R_A − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)

V_x = 16 − 4·7 = −12 kN

Cevap

V_x = −12 kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 36,67 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·5 + 12·6·3

R_B = 416/6 = 69,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 112 − 69,33 = 42,67 kN

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 42,67·1 − 12·1·0,5 = 36,67 kN·m

Cevap

M_x = 36,67 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 96,22 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

gövde: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·315 + 4200·150)/9600 = 242,8 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 180·30³/12 + 5400·(315 − 242,8)² = 2,854 × 10⁷ mm⁴

gövde: 14·300³/12 + 4200·(150 − 242,8)² = 6,768 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,854 × 10⁷ + 6,768 × 10⁷ = 9,622 × 10⁷ mm⁴ = 96,22 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 96,22 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 81,73 × 10⁶ mm⁴

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 2800 mm², y = 240 mm

gövde: A = 1760 mm², y = 120 mm

alt başlık: A = 2600 mm², y = 5 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (2800·240 + 1760·120 + 2600·5)/7160 = 125,2 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 140·20³/12 + 2800·114,8² = 3,702 × 10⁷ mm⁴

gövde: 8·220³/12 + 1760·5,168² = 7,146 × 10⁶ mm⁴

alt başlık: 260·10³/12 + 2600·120,2² = 3,757 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,702 × 10⁷ + 7,146 × 10⁶ + 3,757 × 10⁷

I_x = 8,173 × 10⁷ mm⁴ = 81,73 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 81,73 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 71,94 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (−40 + 30)/2 = −5 MPa

R = σ₁ − C = 75 − (−5) = 80 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 35²) = 71,94 MPa

Cevap

τ_xy = 71,94 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 76,16 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 70 + −50·0,6428 + 50·0,766 = 76,16 MPa

Cevap

σ_θ = 76,16 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 3,759 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 20000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 20000·1000²·3000²/(3·3,99 × 10¹²·4000) = 3,759 mm

Cevap

δ_P = 3,759 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: M_A = 67,5 kN·m

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·6/8 = 33,75 kN

Ankastre uçtaki moment

Yüklerin ve mesnet kuvvetinin A’ya göre momentleri.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 270 − 202,5 = 67,5 kN·m

Cevap

M_A = 67,5 kN·m

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 32,75 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3000² = 32752 N = 32,75 kN

Cevap

P_cr = 32,75 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 12,34 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/5 = 400

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Cevap

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials