Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 35 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 80 kNparça 1: Ø25 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

0,5 m uzunluğundaki dolu bir pirinç mil 250 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 3°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 250 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 50 MPa değerini aşmadan 1450 dev/dk’da 20 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti V_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mw = 2 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 2 m

V_x = kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 8 mP = 20 kN @ 3 mw = 2 kN/m, 0 ile 8 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

100 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 80 mm yukarıda olan 30 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mmdelik merkezi: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

150 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, 30 mm genişliğinde ve 30 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 52,5 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 150 mmh = 150 mmkesik: 30 × 30 mmdelik merkezi: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 80 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 15° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 40° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 100 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 1 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 6 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş, üçte bir noktalarında (her mesnetten L/3 uzaklıkta) iki eşit P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak açıklık ortasındaki sehim δ_max değerini bulun.

P = 10 kNL = 5 mE = 200 GPa (çelik)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 105 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 105 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,768 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/70000 = 0,0007074 = 707,4 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0007074·2500 mm = 1,768 mm

Cevap

δ = 1,768 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 254,6 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 163 MPa

σ₂ = 254,6 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 254,6 MPa

Cevap

σ_max = 254,6 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: d = 28,1 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·500/(39000·0,05236) = 61213 mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 28,1 mm

Cevap

d = 28,1 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 23,76 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·131714/(π·50)) = 23,76 mm

Cevap

d = 23,76 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: V_x = 1 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = R_A − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)

V_x = 5 − 2·2 = 1 kN

Cevap

V_x = 1 kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 52,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3 + 2·8·4

R_B = 124/8 = 15,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 15,5 = 20,5 kN

V = 0 nerede?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 14,5 kN

V(3⁺) = 14,5 − 20 = −5,5 kN

Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 20,5·3 − 2·3²/2 = 52,5 kN·m

Cevap

M_max = 52,5 kN·m

A’dan x = 3 m uzaklıkta oluşur.

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 66,33 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (20000·100 − 706,9·80)/(20000 − 706,9) = 100,7 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·200³/12 + 20000·−0,7328² = 66,68 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·30⁴/64 + 706,9·−20,73² = 0,3436 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 66,33 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 66,33 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 41,65 × 10⁶ mm⁴

Ağırlık merkezi

ȳ = (22500·75 − 900·52,5)/(22500 − 900) = 75,94 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·150³/12 + 22500·−0,9375² = 42,21 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

30·30³/12 + 900·−23,44² = 0,5619 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 41,65 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 41,65 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = 45,67 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 75 − 5·0,866 − 50·0,5 = 45,67 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 104,3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 150 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = 45,67 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 92,36 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 55 + 45·0,1736 + 30·0,9848 = 92,36 MPa

Cevap

σ_θ = 92,36 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 1,136 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 6000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa³/(3EI) = 6000·1000³/(3·1,76 × 10¹²) = 1,136 mm

Cevap

δ_P = 1,136 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 6,162 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 10000 N, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

L/3’teki bir yük

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 3,081 mm

İki yükü toplayın

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 6,162 mm

Cevap

δ_max = 6,162 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 6,317 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/10000² = 6317 N = 6,317 kN

Cevap

P_cr = 6,317 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 87,29 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·105000 = 315000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 87,29 mm

Cevap

d = 87,29 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 114,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials