Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 85 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 110 kNparça 1: Ø30 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

50 mm çaplı dolu bir pirinç mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1,5 m ve B’den 3 m uzaklıktaki C’de 500 N·m tork uygulanıyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 50 mmT₀ = 500 N·ma = 1,5 mb = 3 m

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mw = 6 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 2 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 3,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 60 kN @ 3 mw = 2 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

150 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 105 mm yukarıda olan 40 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmdelik merkezi: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

100 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, 40 mm genişliğinde ve 20 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 45 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 100 mmh = 150 mmkesik: 40 × 20 mmdelik merkezi: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 160 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

50 mm çaplı dolu bir mil, 1500 N·m tork ile birlikte 80 kN eksenel çekme kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 50 mmF = 80 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş B mesnedinden b = 1,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Kirişin en büyük sehimi δ_max değerini bulun.

P = 16 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 145 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 145 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 3,608 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/100000 = 0,001203 = 1203 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001203·3000 mm = 3,608 mm

Cevap

δ = 3,608 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 10,35 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 155,6 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 155,6·1500/70000 = 3,335 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547,1·1500/117000 = 7,014 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 10,35 mm

Cevap

δ = 10,35 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,7183 °

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(26000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Cevap

φ = 0,7183°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 13,58 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·3/4,5 = 333,3 N·m

T_B = 500·1,5/4,5 = 166,7 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İki torktan büyük olanı belirleyicidir (aynı çap).

τ_max = 16·333333/(π·50³) = 13,58 MPa

Cevap

τ_max = 13,58 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 36 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 24·2 − 6·2·1 = 36 kN·m

Cevap

M_x = 36 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 24,25 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·3 + 2·4·2

R_B = 196/4 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 49 = 19 kN

x = 3,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 19·3,5 − 60·(3,5 − 3) − 2·3,5·1,75 = 24,25 kN·m

Cevap

M_x = 24,25 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (22500·75 − 1257·105)/(22500 − 1257) = 73,23 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·150³/12 + 22500·1,775² = 42,26 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·40⁴/64 + 1257·31,77² = 1,394 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 27,34 × 10⁶ mm⁴

Ağırlık merkezi

ȳ = (15000·75 − 800·45)/(15000 − 800) = 76,69 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·150³/12 + 15000·−1,69² = 28,17 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

40·20³/12 + 800·−31,69² = 0,8301 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 27,34 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 27,34 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = −11,31 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·−50, 160 − −80) = −22,62°

Elemandaki açı

θ_p = −11,31°

Cevap

θ_p = −11,31°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 84,79 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = 80000/(π·50²/4) = 80000/1963 = 40,74 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61,12 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 20,37 MPa

R = √(20,37² + 61,12²) = 64,42 MPa

σ₁ = C + R = 84,79 MPa

σ₂ = C − R = −44,05 MPa

Cevap

σ₁ = 84,79 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 3,965 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 3,965 mm

Cevap

δ_max = 3,965 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 1,752 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 16000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

En büyük değerin konumu

Uzun parçadaki eğimi sıfıra eşitlemek konumu verir.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

En büyük sehim

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1,752 mm

Cevap

δ_max = 1,752 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 4,922 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1050² = 4922 N = 4,922 kN

Cevap

P_cr = 4,922 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 124,4 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·145000 = 362500 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·362500·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 124,4 mm

Cevap

d = 124,4 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 257,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials