Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 50 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 110 kNparça 1: Ø35 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

1,5 m uzunluğundaki dolu bir pirinç mil 2000 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 0,5°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 2000 N·mL = 1,5 mG = 39 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir çelik mil 1500 rpm’de 50 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 80 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,5° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 3 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti M_A değerini A ankastre mesnedinde bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 3 mP = 55 kN @ 3 mw = 2 kN/m, 0 ile 3 m arasında

M_A = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

10 kN @ 0 m20 kN @ 6 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

200 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 60 mm yukarıda olan 60 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 200 mmh = 200 mmd = 60 mmdelik merkezi: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

150 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, 40 mm genişliğinde ve 40 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 130 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 150 mmh = 200 mmkesik: 40 × 40 mmdelik merkezi: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 40° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 130 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 130 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,91 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 50·1000/490,9 = 101,9 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 101,9/70000 = 0,001455 = 1455 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001455·2000 mm = 2,91 mm

Cevap

δ = 2,91 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 972,6 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 972,6 MPa

Cevap

σ_max = 972,6 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: d = 97,34 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·1500/(39000·0,008727) = 8,815 × 10⁶ mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 97,34 mm

Cevap

d = 97,34 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 46,42 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Dayanım için çap

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

d_τ = ∛(16·318310/(π·80)) = 27,26 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·318310/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 46,42 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(27,26, 46,42) = 46,42 mm

Cevap

d = 46,42 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_A = −174 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −55·3 = −165 kN·m

w: −2·3²/2 = −9 kN·m

M_A = −165 − 9 = −174 kN·m

Cevap

M_A = −174 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 5 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 19,5 kN, R₂ = 34,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −10, M_C = −3,5, M_D = −3, M_E = −8,5, M_F = −20 kN·m, M_G = 0

Cevap

İşaret F: M_F = −20 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 127,8 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (40000·100 − 2827·60)/(40000 − 2827) = 103 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·200³/12 + 40000·−3,042² = 133,7 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·60⁴/64 + 2827·−43,04² = 5,874 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 127,8 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 127,8 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 98,27 × 10⁶ mm⁴

Ağırlık merkezi

ȳ = (30000·100 − 1600·130)/(30000 − 1600) = 98,31 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·200³/12 + 30000·1,69² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

40·40³/12 + 1600·31,69² = 1,82 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 98,27 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 98,27 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 20,62 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((50 − 60)/2)² + −20²) = 20,62 MPa

Cevap

τ_max = 20,62 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 61,06 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 15 + −75·0,1736 + 60·0,9848 = 61,06 MPa

Cevap

σ_θ = 61,06 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 69,75 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 69,75 mm

Cevap

δ = 69,75 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 10,13 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·200000·16,67) = 1,012 × 10⁷ mm⁴

I_req = 10,13 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 10,13 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 14,92 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2500² = 14923 N = 14,92 kN

Cevap

P_cr = 14,92 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 77,04 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 77,04 mm

Cevap

d = 77,04 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 90,87, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials