Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 70 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 400 mm’dir ve rijit levhalar arasında 300 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 300 kNçubuk: Ø40 mm, E = 200 GPaboru: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 75 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 rpm’de 20 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 75 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 20 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 9 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 4 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 9 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2,5 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. Mesnetler arasındaki en büyük pozitif eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 8,5 mw = 4 kN/m, 0 ile 8,5 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 6 m konumlarında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 60 MPa, basınçta 120 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük pozitif eğilme momenti M_allow değerini bulun.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −10 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −10 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 40° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 160 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

125 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/300 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 2,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 125 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 25 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 25 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,1734 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·4006 = 6,919 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 300000·400/6,919 × 10⁸ = 0,1734 mm

Cevap

δ = 0,1734 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 4,431 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 59,68 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 59,68·2000/117000 = 1,02 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238,7·1000/70000 = 3,41 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,431 mm

Cevap

δ = 4,431 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 3,507 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(39000·251327) = 0,06121 rad

φ = 0,06121·180/π = 3,507°

Cevap

φ = 3,507°

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 26,42 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 254,6 N·m = 254648 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·254648/(π·75·0,9375)) = 26,42 mm

d_i = 0,5·26,42 = 13,21 mm

Cevap

d_o = 26,42 mm

Dolu bir mil d = 25,86 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 18 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

x = 9 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 20·9 − 4·9·4,5 = 18 kN·m

Cevap

M_x = 18 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 12,29 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·8,5 = 34 kN, x̄ = 4,25 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·8,5·4,25

R_B = 144,5/6 = 24,08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 24,08 = 9,917 kN

Sıfır kesme kuvveti

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 9,917/4 = 2,479 m

En büyük pozitif moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 9,917²/(2·4) = 12,29 kN·m

Cevap

M_max = 12,29 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 59,85 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

gövde: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·252,5 + 3840·120)/9840 = 200,8 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 240·25³/12 + 6000·(252,5 − 200,8)² = 1,635 × 10⁷ mm⁴

gövde: 16·240³/12 + 3840·(120 − 200,8)² = 4,35 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,635 × 10⁷ + 4,35 × 10⁷ = 5,985 × 10⁷ mm⁴ = 59,85 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 59,85 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 6,228 kN·m

Ağırlık merkezi

ȳ = (4200·147,5 + 2240·70)/6440 = 120,5 mm

üst kenar: c = 155 − 120,5 = 34,46 mm

Alan atalet momenti

I = 280·15³/12 + 4200·26,96² + 16·140³/12 + 2240·50,54² = 1,251 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Pozitif moment: üst basınçta, alt çekmededir.

üst kenar: M = 120·1,251 × 10⁷/34,46 = 43,57 kN·m

alt kenar: M = 60·1,251 × 10⁷/120,5 = 6,228 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 6,228 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 6,228 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 63,25 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−10 − −50)/2)² + −60²) = 63,25 MPa

Cevap

τ_max = 63,25 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 46,24 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 70 + 90·0,1736 + −40·0,9848 = 46,24 MPa

Cevap

σ_θ = 46,24 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 42,33 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 42,33 mm

Cevap

δ_max = 42,33 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 176 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4000⁴/(384·11000·13,33) = 5,682 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·5,682 × 10⁷/125)^1/3 = 176 mm

Cevap

h_req = 176 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 81 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1750² = 80996 N = 81 kN

Cevap

P_cr = 81 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 41,19 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 41,19 mm

Cevap

d = 41,19 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 121,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials